漸開線齒輪UG參數化設計的幾個關鍵問題

莊宿濤，孟曉軍

(泰山學院建筑與機械工程系，山東泰安 271021)

參數化設計，就是以一組參數來映射產品的幾何特征，通過參數的設置和程序編輯，可以快速地實現一系列形狀相似的模型的重新設計［1］.齒輪機構是現代機械中應用最廣泛的一種傳動機構，現代齒輪機構的設計建模、有限元分析與優化以及虛擬裝配技術有著廣泛的工程應用背景和研究意義.目前，基于三維設計軟件的漸開線齒輪的參數化設計方法中，基于結構生成歷程的方法是采用較為普遍的方法，但應用該方法建模存在齒廓曲線不對稱、參數丟失和無法實現參數化問題.本文在剖析齒輪原理的基礎上，結合軟件參數化功能，分析與解決了影響漸開線齒輪參數化設計的幾個關鍵問題.

1 齒廓曲線構成的判斷

當db＜df時，齒廓曲線全部由漸開線構成，當db＞df時，齒廓曲線由漸開線與齒根過渡曲線構成，分界齒數是以上兩種情況的直接判斷.

(1)標準漸開線直齒圓柱齒輪:

直齒圓柱齒輪的分界齒數為41齒.

(2)標準漸開線直齒圓柱齒輪:

斜齒圓柱齒輪分界齒數與螺旋角β有關，β常在8°～20°之間選擇，根據公式可獲得各螺旋角β對應的分界齒數Z，如β=15°，z=37.

(3)標準漸開線直齒圓錐齒輪:

圓錐齒輪的當量分界齒數為41齒.

2 齒廓曲線方程

2.1 漸開線方程

精確建模需要獲得齒輪齒廓曲線.使用點關于直線對稱的坐標計算公式實現對稱漸開線的生成，可避免使用“變換”這一非參數化功能指令.

圖1漸開線關于y=tanγ×x對稱，γ=360°/(4×z)+inva，漸開線函數inva=tan a×180/π－a.a為壓力角.

則漸開線2的方程為

此方程使用直齒圓柱齒輪與直齒圓錐齒輪，對于斜齒圓柱齒輪，應生成前、后端面齒廓.

圖1 對稱漸開線

圖2 前后端面對稱漸開線

圖2中漸開線1、2關于y=tanγ×x對稱，γ=360°/(4×z)+inva，at為端面壓力角，漸開線函數invat=tan at×180/π－at;漸開線2、3關于y=tanγ1×x對稱，γ1=γ+β1/2;漸開線3、4關于y=tanγ2×x對稱，γ2=γ+β1，β1為輪齒前后端面螺旋旋轉角度，β1=h×360°/P，h為齒寬，螺旋齒螺距 p= πd/tan|β|，d為分度圓直徑，β為分度圓螺旋角，因斜齒輪左右旋使用β的±表示，所以β應取絕對值.利用對稱性可得所有漸開線對稱方程，借助投影可得前、后端面齒廓.

2.2 齒根過渡曲線方程

對于db＞df的齒輪，基圓與齒根圓之間的齒廓曲線是齒根過渡曲線，齒根過渡曲線方程［2］:

刀具圓角坐標

過渡曲線方程變量:v=(1－t)a+90t;

齒條刀具圓角半徑:r0=0.3m;

刀具齒頂高系數:hac=1.25;

刀具坐標與齒輪坐標夾角:θ=(hacm－r0)/(r tan v);

r為節圓半徑.

通過坐標旋轉實現齒根過渡曲線與漸開線相連接，連接點C點坐標為t=0即v=a時的xt，yt:

刀具圓角坐標

刀具坐標與齒輪坐標夾角:θ1=(hacm－r0)/(r tanα).

坐標旋轉后齒根過渡曲線方程:

2.3 方程參變量

為避免由于漸開線修剪出現齒廓曲線不對稱和參數丟失問題，應對漸開線生成時起始、終止角度加以定量控制.

漸開線齒頂終止角度即t=1時u=b的大小:

由齒頂的壓力角aa=arccos(rb/ra)得:tan2aa=(1－cos2aa)/cos2aa=r2a/r2b－1，所以漸開線終止角度b=u=tan aa×180°/π.

同理可控制漸開線起始角度a=tan ac×180°/π，ac=arccos(rb/rc).

3 錐齒輪背錐基準平面與基準坐標系

錐齒輪大端參數為標準值，因大端球面漸開線無法展開，用近似法將大端球面齒形向背錐投影研究其齒廓曲線，背錐基準平面與基準坐標系是參數化建模的關鍵，其正確與否直接關系到參數化建模的成敗.

利用草圖曲線功能生成等頂隙齒坯草圖(圖3)［3］.

圖3 錐齒輪齒坯草圖

3.1 背錐基準平面

(1)做OA與AB重合，OE與圓錐軸線重合，兩者交于O點;

(2)創建草圖選擇創建平面選項，使用點和方向平面指令選擇OA線上O點創建Ⅰ平面，在該平面沿yc做直線OF，約束其與OA在O點重合;

(3)創建草圖選擇創建平面選項，使用成一角度(90°)平面指令選擇Ⅰ平面為平面對象，OF為線性對象創建Ⅱ平面，即為背錐基準平面，如圖4所示.

3.2 背錐基準坐標系

(1)在Ⅱ平面做OG與OA成γ3=360°/(4×z)－inva，約束OG與OA在O點重合;

(2)創建草圖選擇創建平面選項，使用點和方向平面指令選擇OG線上O點創建Ⅲ平面，在該平面沿yc做直線OH，約束其與OG在O點重合;

(3)插入基準CSYS，以OG為X軸，以OH為Y軸，O點為原點創建背錐基準坐標系，如圖4所示.

圖4 背錐基準平面與基準坐標系

4 結語

建立漸開線、齒根過渡曲線對稱方程，精確計算方程參變量取值控制曲線起始、終止角度，通過三維設計軟件表達式，借助規律曲線功能可直接生成齒廓曲線，無需進行曲線修剪、變換;以分界齒數為齒輪不同建模形式的直接判斷，保證了齒輪齒廓曲線的真實性;提供了錐齒輪背錐基準平面與基準坐標系建立方法，為規律曲線的生成指定了正確的CSYS參考;齒輪參數化設計中的幾個關鍵問題的解決，真正實現了齒輪建模的參數化驅動，大大提高模型的生成和修改的速度，在產品的系列設計、相似設計及專用CAD系統開發方面都具有較大的應用價值.

［1］周虹，仉毅.基于UG的漸開線齒輪參數化設計與實現［J］.機械設計與制造，2007，(2):78－79.

［2］李玉龍，劉焜，鮑仲輔.基于漸開線齒輪展成法的參數化精確建模［J］.現代制造工程，2006，(9):70－72.

［3］文立閣，李劍橋，侯洪生.利用UG實現圓錐齒輪參數化設計［J］.機械設計與制造，2008，(3):183－184.