基于時變VaR的動態(tài)套期保值策略研究

張勝杰，張敏敏

(1.上海理工大學管理學院，上海 200093;2.廊坊師范學院管理學院，河北廊坊 065000)

股票價格風險，包括非系統(tǒng)性風險和系統(tǒng)性風險.投資者可以通過組合投資消除非系統(tǒng)性風險，但對于系統(tǒng)性風險卻無能為力.我國股指期貨推出已有一年，為投資者提供了通過套期保值來規(guī)避系統(tǒng)性風險的有效工具.

對于套期保值，以往研究主要集中在兩個方面:一是計算最優(yōu)套保比，即基于某個風險量化指標，如方差、效用、VaR等，求其最小化的最優(yōu)套保比，可用來確定套保者需要交易的期貨頭寸數(shù)量;二是計算套保風險，即已知套保組合的結(jié)構(gòu)(即套保比)，建立模型來度量套保組合的市場風險，如VaR、CVaR等，可用來確定套保者的風險準備金.

在第一方面，國外學者提出了眾多模型計算最優(yōu)套保比，按照是否需要調(diào)整套保頭寸分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型，各模型中確定最優(yōu)套保比的目標函數(shù)主要分為三類:基于風險最小化、效用最大化、VaR最小化，其中效用最大化目標在投資者極端厭惡風險等條件下可以轉(zhuǎn)化為風險最小化.這三類中靜態(tài)模型的研究較為成熟，如Johnson(1960)［1］最早提出，通過OLS法估計線性回歸模型，得到風險最小化的靜態(tài)最優(yōu)套保比，是簡單常用的一種方法;Ghosh(1993)［2］在OLS模型的基礎(chǔ)上考慮了期貨、現(xiàn)貨價格之間的協(xié)整關(guān)系，提出ECM模型，反映了變量之間的長期均衡關(guān)系和短期變化，具有更準確的估計結(jié)果.周怡(2008)［3］以VaR最小化為目標，針對我國銅期貨市場，主要研究了最優(yōu)靜態(tài)套保比的計算問題.相比靜態(tài)模型，動態(tài)模型因其復雜性主要以風險最小化為目標，如Kroner和Sultan(1993)將誤差修正模型及BGARCH模型整合為協(xié)整－BGARCH模型，研究了IMM市場外匯期貨的動態(tài)套保績效;遲國泰等(2008)［4］對我國銅期貨建立了DC－MSV動態(tài)套保模型，并進行了套保績效的有效性檢驗.馬超群等(2011)［5］研究了外匯期貨的最小方差動態(tài)套保問題，發(fā)現(xiàn)Copula－GARCH模型的套期保值效果相對較好.

在第二方面，為了定量描述和控制風險，眾學者提出過許多不同的風險度量方法.至今，VaR因其簡單易讀、意義明確而成為市場風險度量、控制、監(jiān)管的主流指標.對VaR的估計主要有J.P.Morgan公司(1996)［6］提出的基于收益率服從正態(tài)分布的方差－協(xié)方差法，并逐漸得到業(yè)界的普遍認可;對于半?yún)?shù)和非參數(shù)方法，F(xiàn)an(2003)［7］提出了先用半?yún)?shù)法估計波動率，再用參數(shù)與非參數(shù)的方法估計分位數(shù)，并對全球主要股指的VaR進行了估計;Femandez(2005)［8］用極值理論方法研究了風險管理.

可以看出，套期保值研究中存在兩點不足:計算最優(yōu)套保比時，靜態(tài)模型的研究比較成熟，但動態(tài)模型因其復雜性，基于時變VaR的研究較少;度量現(xiàn)貨、期貨的市場風險時，著重研究單個市場、或已知套保比時套保組合的時變VaR，而其逆問題——求最優(yōu)套保比和最小化的時變VaR，也缺乏這方面的研究.

本文彌補了上述不足，以時變VaR最小化為目標，建立ECM－BGARCH模型來擬合市場波動，推導出最優(yōu)套保比的動態(tài)模型，根據(jù)時變的市場風險來確定時變的套保比，并同時滿足每日VaR都達到最小且有效.本文動態(tài)模型的優(yōu)點在于:(1)用VaR指標來度量、控制套保組合的市場風險，具有其優(yōu)越性，因為VaR與套保者的風險準備金相關(guān)聯(lián)，求套保比使VaR最小化，就是使套保者的風險準備金最小化，可減少資本占用成本，也更容易達到監(jiān)管要求;(2)采用動態(tài)套保策略，因為市場風險是時變的，套保比是影響VaR的主要變量，也應(yīng)是時變的，才能使時變VaR達到最小，因此動態(tài)套保策略具有與市場變化相一致的優(yōu)點.

1 最優(yōu)套保比模型

1.1 基于方差最小化的最優(yōu)套保比

Johnson (1960)［1］最早在風險(方差)最小化的條件下，提出了商品期貨的最優(yōu)套保比的概念，并給出了最優(yōu)套保比的計算公式h也可由OLS線性回歸模型估計得出.其中σsf為現(xiàn)貨、期貨收益率的協(xié)方差，σff為期貨收益率的方差.

1.2 基于VaR最小化的最優(yōu)套保比

下文推導了基于VaR最小化的最優(yōu)套保比hVaR(公式中簡記為h)，并推論出hVaR是對HMV的擴展.以國內(nèi)投資者最常用的空頭套期保值為例，即投資者擁有現(xiàn)貨資產(chǎn)，并擔心現(xiàn)貨價格下跌，則套保組合的期貨合約需為空頭頭寸.記rs、rf:現(xiàn)貨、期貨收益率;μs、μf:現(xiàn)貨、期貨收益率的期望;σs、σf:現(xiàn)貨、期貨收益率的標準差，則套保組合收益率rh=rs－h(huán)rf的期望和標準差分別為:

其中F－1(α)為累計概率為α的逆分布函數(shù)，即r*h的左α分位數(shù).將式(1)、(2)代入式(3)，得

可見，在置信度1－α給定的條件下，VaR是h的函數(shù).求VaR的最小值點，需滿足如下一階、二階條件:

由此求得，基于VaR最小化的最優(yōu)套保比為

將hVaR與基于方差最小化的最優(yōu)套保比hMV相比，得出以下推論.

推論1 hVaR是hMV的擴展.從式(6)可以看出，hVaR由兩部分組成:第一部分為純套保頭寸hMV=，只考慮方差最小化，不考慮收益且與α無關(guān);第二部分為投機頭寸，為是對純套保頭寸hMV的調(diào)整.當μf＞0時，期貨空頭的投機頭寸＜0，可以解釋為當套保者預(yù)期期貨價格上漲時，做多期貨合約進行投機;當μf＜0時，同理，做空投機.投機頭寸與α有關(guān)，反映了套保者的風險偏好.因此給定α后，hVaR的本質(zhì)是在純套保頭寸hMV的基礎(chǔ)上進行投機頭寸的調(diào)整，以提高套保組合的期望收益率(雖然同時增加了投機風險)，從而使VaR達到最小.

推論2 方差最小化是VaR最小化的特殊情況，且在四種情況下，投機頭寸為0，hVaR退化為hMV: (1)μf=0，即期貨預(yù)期收益率為0，套保者認為沒有投機機會;(2)α≈0或VaR的置信度1－α≈100%，即套保者極端厭惡風險，不去投機;(3)ρ=1，即現(xiàn)貨、期貨收益率完全線性相關(guān)，期貨投機收益會完全被現(xiàn)貨的損失抵消，投機對套保組合不會產(chǎn)生凈收益;(4)σ2f≈∞，即期貨市場風險巨大，厭惡風險的套保者也不去投機.

1.3 基于時變VaR的動態(tài)套保策略

式(6)求出的套保比h是靜態(tài)的，代入式(4)求出的最小化VaR也是靜態(tài)的，無法反映出市場風險的時變性.對式(6)、(4)中的標準差σ、相關(guān)系數(shù)ρ、期望收益率μ等進行動態(tài)擬合，得到時變的條件標準差σt、條件相關(guān)系數(shù)ρt、條件期望收益率μt等，則將靜態(tài)模型擴展為更符合市場波動特性的動態(tài)模型，便得到了基于時變VaR最小化的最優(yōu)動態(tài)套保比ht和最小化的時變VaRt，如式(7)、(8)所示:

其中，時變參數(shù)σt、ρt、μt等可用下面的ECM－BGARCH模型來擬合.

1.4 ECM－BGARCH模型

金融時間序列的波動通常具有聚集性、時變性，大量實證表明Bollerslev(1986)［9］提出的一元或多元GARCH模型能成功刻畫這些波動特征.對于動態(tài)套期保值問題，則需建立BGARCH(二元GARCH)模型來擬合現(xiàn)貨、期貨收益率的時變二階矩.本文考慮了現(xiàn)貨、期貨價格之間的協(xié)整關(guān)系，把誤差修正模型與BGARCH模型結(jié)合起來，用現(xiàn)貨、期貨對數(shù)價格的協(xié)整回歸殘差et－1作為誤差修正項ecmt－1，建立了對角VECH形式的ECM－BGARCH模型，對現(xiàn)貨、期貨的一階矩、二階矩進行動態(tài)擬合:

其中

1.5 VaR有效性檢驗

式(8)計算出VaR后，要通過事后的回測方法檢驗?zāi)Ｐ褪欠駵蚀_.最常用的是失效率檢驗法，通過回測，計算實際損失超出VaR的失效頻率與α是否一致，來判斷VaR模型的有效性［10］.如果失效率與α相差較大，表明模型高估或低估了實際風險.

設(shè)回測天數(shù)為T，失效天數(shù)為N，則失效率記為p=N/T.檢驗的零假設(shè)為H0∶p=α;備擇假設(shè)為H1∶p≠α，這樣失效天數(shù)N就服從一個二項式分布B(T，α).Kupiec(1995)提出了采用似然比檢驗法，似然比統(tǒng)計量LR=2ln［(1－p)T－NpN］－2ln［(1－α)T－NαN］.

零假設(shè)成立時，統(tǒng)計量LR近似服從自由度為1的χ2分布，在95%的置信水平下，若LR＞3.841，則拒絕零假設(shè)，認為實際失效率與α不符，VaR模型不是有效的.

1.6 套保績效的評價指標

對于套保比模型，除了進行VaR有效性檢驗外，源于套保者的避險目的，還需評價模型的套保績效HE(Hedging Effect)，大多數(shù)學者采用Ederington(1996)［11］提出的方差減小率HE，即與未進行套期保值時現(xiàn)貨收益率的方差相比，套保組合收益率的方差減小的比率.

套保績效HE反映了進行套期保值后資產(chǎn)組合風險降低的程度，HE值越大說明風險降低程度越大，經(jīng)過套期保值后規(guī)避風險的能力越強，套保績效越好.

2 樣本數(shù)據(jù)說明

選取的研究變量為:滬深300現(xiàn)貨指數(shù)(簡稱“現(xiàn)貨”)的日收盤價St和滬深300股指期貨(簡稱“期貨”)的日收盤價Ft.其中，期貨頭寸選擇與現(xiàn)貨走勢更趨一致的當月合約，為了避免到期日效應(yīng)的影響，在進入交割月的第一天移倉至下月合約，則將逐月移倉展期的當月期貨合約價格連接起來構(gòu)成連續(xù)的期貨價格序列.對St和Ft做對數(shù)變換，得到現(xiàn)貨、期貨的日對數(shù)價格ln St、ln Ft;再做差分變換，得到現(xiàn)貨、期貨的日對數(shù)收益率rs，t=△ln St、rf，t=△ln Ft.

樣本數(shù)據(jù)的時間范圍是:2010年4月16日(即股指期貨交易首日)至2011年4月15日，樣本容量為240天.本文數(shù)據(jù)來源于Wind資訊，分析工具為S－plus8.0，統(tǒng)計檢驗中默認的顯著性水平為0.05.

3 實證分析

3.1 現(xiàn)貨、期貨收益率的描述統(tǒng)計

如表1所示，現(xiàn)貨、期貨收益率序列的統(tǒng)計和分布特征相似:均值接近0，略微左偏，尖峰厚尾，呈非正態(tài)分布;標準差分別為1.57%和1.72%，說明期貨波動性略高于現(xiàn)貨，這與期貨市場的杠桿作用、高流動性是一致的.Q(12)是序列相關(guān)性檢驗的Ljung－Box Q統(tǒng)計量，對于現(xiàn)貨、期貨收益率都不顯著，表明現(xiàn)貨、期貨收益率都不存在直到12階的自相關(guān)性，我國股指現(xiàn)貨與期貨市場是弱式有效的.

表1 現(xiàn)貨、期貨收益率的描述統(tǒng)計

3.2 單位根檢驗

在協(xié)整檢驗之前，需要對現(xiàn)貨對數(shù)價格ln St、期貨對數(shù)價格ln Ft分別進行單位根檢驗，發(fā)現(xiàn)都不平穩(wěn);對其一階差分序列(即現(xiàn)貨、期貨的對數(shù)收益率)分別進行單位根檢驗，都具有平穩(wěn)性.檢驗結(jié)果如表2所示，證明現(xiàn)貨、期貨對數(shù)價格都是一階單整序列，現(xiàn)貨、期貨收益率都是平穩(wěn)序列.

表2 現(xiàn)貨、期貨對數(shù)價格的單位根檢驗

3.3 協(xié)整關(guān)系檢驗

在滿足同階單整的前提下，用Engle－Granger兩步法對現(xiàn)貨、期貨對數(shù)價格ln St、ln Ft做協(xié)整關(guān)系檢驗.首先，建立協(xié)整回歸模型，估計結(jié)果如下:

然后，對協(xié)整回歸模型的殘差序列進行單位根檢驗，檢驗結(jié)果如表2末行所示.ADF檢驗表明協(xié)整回歸模型的殘差序列是平穩(wěn)的，證明現(xiàn)貨、期貨對數(shù)價格具有(1，1)階協(xié)整關(guān)系，為建立誤差修正模型提供了前提條件，殘差序列et－1即是ECM－BGARCH模型中反映長期均衡誤差的誤差修正項ecmt－1.

3.4 分布的擬合與非參數(shù)檢驗

在最優(yōu)套保比計算公式(7)中，需得到標準化套保組合收益率r*h的逆分布函數(shù)F－1(α)，本文用參數(shù)法對其分布進行擬合，并進行非參數(shù)檢驗.

然后，根據(jù)r*h的頻數(shù)直方圖(圖1)和金融時間序列具有尖峰厚尾的特點，對r*h進行t分布擬合，其自由度參數(shù)n用極大似然法估計，得n^=5.3523;

最后，對擬合分布進行非參數(shù)檢驗，檢驗的原假設(shè)為H0∶r*h～t(5.3523).檢驗結(jié)果如表3所示，χ2統(tǒng)計量、K－S統(tǒng)計量都無法拒絕原假設(shè);同時J－B統(tǒng)計量拒絕了r*h為正態(tài)分布的原假設(shè)，三種非參數(shù)檢驗都表明，t(5.3523)分布能較好的擬合r*h的分布特性.因此可得F－1(α)，即自由度為5.3523的t分布的左α分位數(shù)，如F－1(0.05)=－1.9861，F(xiàn)－1(0.025)=－2.5205，F(xiàn)－1(0.01)=－3.2743.

圖1 標準化套保組合收益率的頻數(shù)分布圖

表3 標準化套保組合收益率分布的非參數(shù)檢驗

3.5 套保比模型估計

對ECM－BGARCH模型進行參數(shù)估計，并由估計結(jié)果得到計算動態(tài)套保比ht所需的如下序列:現(xiàn)貨條件標準差序列σs，t、期貨條件標準差序列σf，t、相關(guān)系數(shù)序列ρt和期貨條件均值序列μf，t;代入式(7)中，可得動態(tài)套保比序列ht;再代入式(8)中，可得時變的最小VaR序列.

作為與動態(tài)套保策略的對比，將表1的數(shù)據(jù)代入式(6)，可得靜態(tài)套保比h;再代入式(4)，可得固定的最小化VaR.

靜態(tài)、動態(tài)套保策略的套保組合收益率序列rh，t與95%VaR序列的對比，如圖2所示;套保績效與VaR有效性檢驗的對比，如表4所示.

圖2 靜態(tài)套保策略的固定VaR(左)與動態(tài)套保策略的時變VaR(右)

表4 不同置信度1－α下，靜態(tài)、動態(tài)套保策略的套保績效與VaR有效性檢驗

3.6 套保績效評價

從平均套保比來看，各置信度下，動態(tài)套保比ht的均值ht為0.91，靜態(tài)套保比h為0.86，ht＞h，說明動態(tài)套保策略跟蹤現(xiàn)貨走勢更加準確，因此需要更多的期貨頭寸來對沖現(xiàn)貨風險.

從套保績效來看，在各置信度下，動態(tài)模型的套保績效都好于靜態(tài)模型，說明本文發(fā)展的動態(tài)套保策略是有效的.當置信度1－α=95%即α=5.0%時，動態(tài)模型的套保績效為0.8987，說明套保者采取本文發(fā)展的動態(tài)套保策略能規(guī)避我國股市89.87%的系統(tǒng)性風險.

從VaR來看，在各置信度下，動態(tài)模型的平均VaR更低，意味著需要更少的風險準備金，節(jié)約了套保者的資金占用成本，也更容易達到資金監(jiān)管要求.不僅如此，在對VaR有效性檢驗中，動態(tài)模型具有更接近0的LR統(tǒng)計量，說明實際失效率更接近α，時變VaR更準確反映了市場異常.從圖2也可以看出，靜態(tài)套保策略的VaR固定不變，而動態(tài)套保策略的VaR在一定范圍內(nèi)波動，準確跟蹤了市場風險的變化，在市場波動較小時VaR也較小，降低了套保者的風險準備金數(shù)量.

4 主要結(jié)論

本文彌補了對套期保值現(xiàn)有研究的兩點不足，以時變VaR最小化為目標，建立ECM－BGARCH模型來擬合市場波動，推出了最優(yōu)套保比hVaR的動態(tài)模型，根據(jù)時變的市場風險來確定時變的套保比，并同時滿足每日VaR都達到最小且有效.將hVaR與最小方差套保比相比hMV，得出了兩個重要推論:

(1)hVaR是hMV的擴展:hVaR由兩部分組成:純套保頭寸和投機頭寸，其本質(zhì)是在純套保頭寸hMV的基礎(chǔ)上進行投機頭寸的調(diào)整，以提高套保組合的期望收益率，使VaR達到最小;

(2)在期貨預(yù)期收益率為0、套保者極端厭惡風險、現(xiàn)貨期貨收益率完全線性相關(guān)、期貨市場風險巨大等四種情況下，投機頭寸為0，hVaR退化為hMV.

然后，文中以空頭套期保值為例，對股指期貨的動態(tài)套保策略進行了實證研究.與靜態(tài)模型相比，動態(tài)模型體現(xiàn)出更好的應(yīng)用效果:

(1)從套保績效來看，在各置信度下，動態(tài)模型的套保績效都好于靜態(tài)模型，說明本文擴展的動態(tài)套保策略是有效的.當置信度1－α=95%即α=5.0%時，動態(tài)模型的套保績效為0.8987，說明套保者采取本文發(fā)展的動態(tài)套保策略能規(guī)避我國股市89.87%的系統(tǒng)性風險;

(2)從VaR來看，在各置信度下，動態(tài)模型的平均VaR更低，意味著需要更少的風險準備金，節(jié)約了套保者的資金成本，也更容易達到資金監(jiān)管要求;

(3)在對VaR有效性檢驗中，動態(tài)模型具有更接近0的LR統(tǒng)計量，說明實際失效率更接近α，在套保者對風險準備金管理過程中，動態(tài)套保策略計算的時變VaR更準確反映了市場異常.

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