標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在積分中的應(yīng)用

陳志成，張紅云

(河南科技學(xué)院數(shù)學(xué)系，河南新鄉(xiāng) 453003)

1 引言

被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)且原函數(shù)不是初等函數(shù)的積分問(wèn)題歷來(lái)是積分的難點(diǎn)，它困擾著學(xué)習(xí)者和工作者.盡管可以部分題目采用極坐標(biāo)變換，但是計(jì)算過(guò)程往往比較繁瑣.本文利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)及性質(zhì)較系統(tǒng)的解決了該類問(wèn)題的積分，并對(duì)該問(wèn)題分類給出了相應(yīng)的積分公式便于記憶和掌握.

2 幾個(gè)重要結(jié)論

定理1［1－2］若a＞0，則

推論［3］對(duì)任意k＞0，則

定理2 若a＞0，x1＜x2，則

定理4 若a＞0，b，c為實(shí)數(shù)且x1＜x2，則

證明:由于被積函數(shù)xe－ax2是奇函數(shù)且積分區(qū)間對(duì)稱，則

其中Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，因而σ2=1，σ2=E(Y2)－(E(Y))2，E(Y)=0，E(Y2)=1.易證

注:本定理通過(guò)利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論求解，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，思路清晰;相比較而言若利用經(jīng)常采用的極坐標(biāo)變換x=r sinθ，y=r cosθ進(jìn)行求解，需要把一重積分轉(zhuǎn)化為二重積分，求解過(guò)程比較復(fù)雜［4］.

定理7 當(dāng)a＞0，－∞＜k＜∞時(shí)，則

(1)當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，顯然E(Yk)=0;

則

［1］盛驟，謝式千，潘乘毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［2］鄧集賢，楊維權(quán)，司徒榮，鄧永錄.概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京:高等教育出版社，1988.

［3］李賢平.概率論基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，1997.

［4］孫榮恒.應(yīng)用概率論［M］.北京:科學(xué)出版社，1998.