一類參數邊界條件的奇異Stu rm－Liouville問題的自伴性

劉常凱，張茂柱

(泰山學院數學與系統科學學院，山東泰安 271021)

1 引言

邊界條件中含有特征參數的Sturm－Liouville問題許多作者做了大量的研究(如參考文獻［1－5］等)，這些文章主要討論正則情形.對于奇異情形時兩邊界條件均含參數的Sturm－Liouville問題有較少的研究.本文考慮奇異Sturm－Liouville問題

參數邊界條件為

2 主要結果

構造新的Hilbert空間H=L2(a，b)⊕C2，?F，G∈H，F=(f(x)，f1，f2)T，G=(g(x)，g1，g2)T，定義H上的內積為

構造算子A為

引理1［6］

引理2［6］

定理1 算子A的定義域D(A)在H中稠.

證明:設F=(f(x)，f1，f2)T∈H，且F⊥D(A)，下證F=0.假設U=(u(x)，u1，u2)T，u(x)∈C0∞(a， b)，則U∈D(A)，并且F⊥U，即，因此f(x)在L2(a，b)中正交于C0∞(a，b)，故f(x)在區間(a，b)內幾乎處處為0.假設V=(v(x)，v1，0)T∈D(A)，則.由于v1可以任意選取，故f1=0.同時f2=0.

定理2 算子A為H中的對稱算子.

證明:對?F，G∈H有

又因為u，v是實的，且［u，v］(a)=1.由引理1得

同理，［f，u］(b)［v，g］(b)－［f，v］(b)［u，g］(b)=－［f，g］(b).所以，(AF，G)－(F，AG)=0.

定理3 算子A為H中的自伴算子，并且算子A的特征值即為問題(1.1)－(1.3)的特征值.

證明:只需證明若對任何的F=(f(x)，f1，f2)T∈D(A)有(AF，G)=(F，W)成立，則

G∈D(A)且AG=W，其中G=(g(x)，g1，g2)T，W=(w(x)，w1，w2)T∈H，即

(1)g，g'∈ACloc(a，b)，lg∈L2(a，b)，lg=w;

(2)g1=a1［g，u］(a)，g2=a2［g，u］(b);

(3)－b1［g，u］(a)+［g，v］(a)=w1，－b2［g，u］(b)+［g，v］(b)=w2.

事實上，對任意的f(x)∈C∞0(a，b)，F=(f(x)，0，0)T∈D(A)，由(AF，G)=(F，W)得到由標準的Sturm－Liouville理論(1)成立.下證(2)、(3)成立.由(AF，G)=(F，W)可得

由引理2，存在f使得［f，u］(a)=0，［f，v］(a)=1，［f，u］(b)=［f，v］(b)=0.

由引理1結合上式可得g1=a1［g，u］(a).同理也存在f使得

［f，u］(a)=1，［f，v］(a)=0，［f，u］(b)=［f，v］(b)=0.

由引理1結合g1=a1［g，u］(a)可得－b1［g，u］(a)+［g，v］(a)=w1.同理可證(2)(3)的其余部分成立.

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