低溫下XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波譜

成泰民， 葛崇員， 李青云

(沈陽化工大學數理系，遼寧沈陽110142)

其中η=J┷/Jz.根據(8)式、(15)式、(16)式進行約化數值計算可得反鐵磁自旋鏈的自旋波譜(磁振子譜)特性，如圖1所示.

最近XXZ反鐵磁自旋鏈的研究取得了新進展［1-5］.特別是對于量子信息的傳輸及自旋量子態的研究領域取得了進展［1-2］.對此體系的解析解，一般利用量子統計理論進行研究.但是對于低溫下的近似解，通常對此種理論模型采用雙時格林函數方法及“切斷近似法”處理體系的元激發能譜［6-7］.而后利用其關聯函數的譜強度表示熱力學格林函數，用熱力學格林函數及體系的宏觀物理量的關系分析其體系的宏觀物性.此問題的關鍵是元激發能譜的求解，但是此方法較繁瑣.范洪義創立的不變本征函數法［8-9］處理只包含算符的二次項的Hamiltonian非常便捷［10］.對此我們在非簡諧近似下，系統地研究低溫下XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波譜，并討論簡諧近似與非簡諧近似下的自旋波譜的變化規律.這對進一步研究該體系的宏觀物理性質具有關鍵意義.這是因為體系的元激發能量與體系的內能、磁化強度、磁化率等宏觀物理量密切相關.在此文中我們對微擾相關的非線性Hamiltonian進行以簡諧近似下自旋波譜的統計平均線性化近似.

1 XXZ反鐵磁自旋鏈的Hamiltonian及自旋波譜

XXZ反鐵磁自旋鏈由自旋朝上的次晶格與自旋朝下的次晶格嵌套構成.設自旋朝上的次晶格與自旋朝下的次晶格各含有N/2個磁性原子(或離子).那么根據雙次晶格模型把XXZ反鐵磁自旋鏈的Hamiltonian表示如下［5，7］:

對ai及bi進行點陣傅立葉變換，

再把(2)式和(3)式代入到(1)式，去掉算符的6次冪項可得:

把(7)式、(8)式代入到(6)式，經整理可得:

在(10)式中利用了玻色算符的對易律

其中η=J┷/Jz.根據(8)式、(15)式、(16)式進行約化數值計算可得反鐵磁自旋鏈的自旋波譜(磁振子譜)特性，如圖1所示.

圖1 在2ka=π/2處，XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波約化能量差(hvk-hv0k)/(4SJz)隨約化溫度kBT/Jz的變化Fig.1 The change of the spin wave reduced energy's difference of XXZ anti-ferromagnetic spin chain with the reduced temperature kBT/Jzat 2ka=π/2

圖1說明，約化溫度kBT/Jz＞0.621 3時，非簡諧近似下的反鐵磁自旋鏈的自旋波能量在第一布里淵區不出現軟化現象，只有硬化現象，這與約化交換積分 η=J┷/Jz無關.當 kBT/Jz＜0.621 3時，反鐵磁自旋鏈在低溫下由磁振子-磁振子耦合作用才能夠引起磁振子(自旋波量子)軟化現象.并且在約化溫度kBT/Jz=0.46附近磁振子軟化最明顯.當kBT/Jz＜0.46時，隨著溫度的升高磁振子軟化逐漸加強，但是約化溫度在0.46＜kBT/Jz＜0.621 3區域，隨著溫度的升高磁振子軟化逐漸減弱.

圖2為約化交換積分η=0.4時，在不同的約化溫度(kBT/Jz)下XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波約化能量hvk/(4SJz)在第一布里淵區的變化.

圖2 約化交換積分η=0.4時，在不同的約化溫度(kBT/Jz)下XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波約化能量hvk/(4SJz)在第一布里淵區的變化Fig.2 When reduced exchange integral η=0.4 the change of the spin waves reduced energy of XXZ antiferromagnetic spin chain in the first Brillouin zone under different reduced temperature(kBT/Jz)

圖2再一次說明圖1分析的正確性.把約化交換積分固定為η=J┷/Jz=0.4，在不同的約化溫度下反鐵磁自旋鏈的磁振子譜的變化規律表明，確實在kBT/Jz＜0.46時，隨著溫度的升高磁振子軟化逐漸加強.但是約化溫度在0.46＜kBT/Jz＜0.621 3區域，隨著溫度的升高，在2ka =π/2點磁振子軟化逐漸減弱，而且在布里淵區的2ka=0、2ka=±π附近出現磁振子硬化現象.當kBT/Jz＞0.621 3時在整個布里淵區只有磁振子硬化現象.

圖3、圖4說明，在第一布里淵區，當約化溫度η=J┷/Jz=0.4時，反鐵磁自旋鏈的磁振子譜隨不同的約化交換積分常數η=J┷/Jz的變化規律.從而可知當約化交換積分η=J┷/Jz越小，體系的磁振子譜整體軟化越明顯.

圖3 約化溫度kBT/Jz=0.4時，XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波約化能量hvk/(4SJz)在第一布里淵區的變化Fig.3 When reduced temperature kBT/Jz=0.4，the change of the spin waves reduced energy hvk/(4SJz)of XXZ anti-ferromagnetic spin chain in the first Brillouin zone

圖4 約化溫度kBT/Jz=0.4時，XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波約化能量差(hvk-hv0k)/(4SJz)在第一布里淵區隨約化交換積分η的變化Fig.4 When reduced temperature kBT/Jz=0.4，the change of the spin waves reduced energy's difference(hvk-hv0k)/(4SJz)of XXZ anti-ferromagnetic spin chain with reduced exchange integral η in the first Brillouin zone

2 結論

利用不變本征算符法研究了XXZ反鐵磁自旋鏈的簡諧近似下的自旋波能譜，并與統計平均近似相結合，進一步研究了非簡諧近似下的XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波能譜.討論了XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波譜對各項物理參數的變化規律及不變本征算符法適用范圍.

(1)不變本征算符法對于處理線性近似下的哈密頓量非常便利.但是對非簡諧哈密頓量必須處理為線性近似后才容易處理系統的元激發能量(如磁振子譜等).

(2)XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波譜與溫度密切相關，并有2個轉變溫度kBT/Jz=0.46和kBT/Jz=0.621 3.

(3)在低溫(kBT/Jz＜0.46)下，XXZ反鐵磁自旋鏈的自旋波譜與約化交換積分η=J┷/Jz密切相關.

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