粗糙水平面上彈簧振子運動的研究

王興堂

(沛縣中學 江蘇 徐州 221600 )

編者按：本文似可進一步推敲，歡迎讀者參與討論.

1 問題的提出

如圖1(a)所示，將一根勁度系數為κ的彈簧與一質量m物塊相連，置于粗糙的水平面上.已知物塊與水平面的滑動摩擦力為f，彈簧處于原長時，物塊位于O點.用力向左緩慢推物塊從O點至A點，且使OA=L.之后撤去外力， 物塊將在水平面上來回運動.問:

(1)物塊在水平面上的振動是簡諧振動嗎？

(2)物塊最終停止的位置在哪里？

(3)物塊振動的總時間為多少？

圖1 彈簧振子

2 問題的探究

設物塊從A處釋放后第一次最遠能到達B點.物塊從A到B的過程中，在水平方向只受到彈簧彈力和不變的滑動摩擦力.把彈力和摩擦力相等的位置O1設為振動的平衡位置，此時彈簧的形變量為x0， 則有κx0=f；當物塊滑到O1點左側距O1為x時，振子受到的合力為F=κ(x+x0)-f=κx,方向指向O1;當物塊滑到O1點右側距O1為x時，振子受到的合力為F=f-κ(x0-x) =κx,方向指向O1.

由此可知，物塊受到的合力總指向平衡位置，即提供回復力，且其大小與相對平衡位置的位移成正比.這正是簡諧振動的特征.因此，物塊從A到B的運動符合簡諧振動的規律.當物塊從B返回時，物塊受到的摩擦力方向發生了變化，其平衡位置應在O點的右側O2處(且O1，O2關于O點對稱).同理分析可知，從B到A的運動仍符合簡諧振動的規律.

物塊運動一段時間后最終停在哪里呢？物塊往返時將分別以O1,O2為平衡位置振動，隨著平衡位置的變化，物塊振動的振幅將不斷減小，由圖1(b)可知，OA=L則OB=L-2x0，從B向左運動到最遠處A1時，OA1=OB-2x0=L-4x0,再向右運動到最遠處B1，OB1=L-6x0，…物塊第N次通過O點后運動的最遠處到O點的距離為d=L-2Nx0，向右運動時N取奇數，向左運動N取偶數，當d>x0時，也就是彈力大于最大靜摩擦力，物塊就能返回，若d

雖然物塊的振幅在不斷變化，但其往、返的時間應是相同的，都等于同一簡諧振動周期的一半.把粗糙水平面上的物塊運動與豎直方向彈簧振子比較，摩擦力等效重力，我們知道豎直方向彈簧振子的振動周期

3 總結