構建模型巧解2011年高考物理壓卷題

葉廣新

(廣西昭平中學 廣西 賀州 546800 )

在2011年全國各地高考物理試卷中，最受矚目的是北京卷.許多考生用“難”字來評價試題的特點及考后感受.2011年北京卷理綜物理部分試題到底為什么讓人覺得如此之難？究竟難在什么地方？北京地區某高考研究中心的教師們在高考結束第一時間解讀該題后得出結論：所謂的“難”題，其實是“怪”題或“部分超綱”題.在物理壓卷題中，其語言模式和競賽相近，用“A”來描述能量，又加之考查較為生僻的“電勢”，多數考生極不適應.

筆者還注意到，在高考答案公布之前，北京地區某高考培訓機構的一線教師，也加入到這份物理試題的評價：“第24題(物理壓卷題)創新地在靜電場中放入了一個簡諧振動的模型.這個題目給的并不是勻強電場，只是在某方向給了電勢的分布，振子在該方向往復運動，已知振子系統機械能的范圍是求解振動位移和周期.這個新題型讓學生無所適從，除非深刻了解到電勢分布與電場(或者力)之間的內在聯系和數學關系，否則難以解答.這個題目體現出了整套試題的區分度.”

筆者對上述評價提出質疑，認為題目給的就是勻強電場，因為電場線相互平行的電場一定是勻強電場.現用反證法證明，假設“電場線相互平行的電場”不是勻強電場，則電場線疏密分布不均勻，如圖1所示.現將一電荷+q從電場中的A點沿A-B-C-D-A路徑繞行一周回到A點，對于該過程電場力不做功，即電場力做功為零.但根據圖1計算，W總=WAB+WBC+WCD+WDA=WAB+WCD≠0(沿等勢面BC和等勢面DA移動電荷，電場力不做功，由于電荷在AB處所受電場力大于在CD處所受電場力，故可判斷電場力沿AB路徑移動電荷所做的正功與沿CD路徑移動電荷所做的負功不能完全抵消，即該過程電場力所做的總功不為零.)，推出矛盾，說明假設不成立，即不存在電場線相互平行的非勻強電場.

圖1

許多考生對該題之所以感覺到難，除了不能由“已知靜電場方向平行于x軸” 判斷出電場是勻強電場外，還跟這些考生自認為粒子所做的周期性運動是簡諧運動有關(其實高考培訓機構的一線教師都以為是簡諧運動.筆者認為將“簡諧運動”說成“簡諧振動”不夠恰當).實際上，粒子做的是“勻變速直線運動的往復運動”，回復力由大小恒定的電場力提供.

對命題組提出的第(1)問，由于考生不知道已知電場為勻強電場，故無法根據電勢差與場強的關系(U=Ed)列式求解；對第(2)問，需要考生具有較高的數學技巧，將圖像中的各物理量整合成相互關聯的表達式，同時還需要考生具有較高的數學處理能力；第(3)問是前面兩問的綜合運用.

筆者根據多年的高中物理教學經驗及課題研究，并通過反復斟酌后認為，該題之所以讓考生叫難，主要原因是其對該物理過程缺少一個相應的模型映象，當一個錯誤的映象主導著思維的時候，考生的物理思維必出現卡殼，從而無法對所列問題進行求解.現通過構建物理模型，巧解題.

【原題】(2011年高考北京卷)靜電場方向平行于x軸，其電勢φ隨x的分布可簡化為如圖2所示的折線，圖中φ0和d為已知量.一個帶負電的粒子在電場中以x=0為中心，沿x軸方向做周期性運動.已知該粒子質量為m，電荷量為-q，其動能與電勢能之和為-A(0

(1)粒子所受電場力的大小；

(2)粒子的運動區間；

(3)粒子的運動周期.

圖2

解析：(1)因靜電場方向平行于x軸，可知電場為勻強電場.根據“逆著電場線電勢逐漸升高、順著電場線電勢逐漸降低”，結合圖2的信息(從-d到d，電勢先由零升高到φ0，接著由φ0降低到零)，可判斷y軸左右兩側的電場方向相反.因而想到薄板帶電模型，即外表面均勻帶正電的薄圓板位于y軸所在平面，其圓心處有一小孔，x軸垂直于薄圓板且穿過該中心小孔.圖3為相應的物理模型.

圖3

因電場線與等勢面垂直，可推知，薄圓板所在平面為同一等勢面，其電勢等于φ0，故薄板圓心處的O點(即坐標原點)與d點之間的電勢差

U=φ0-0=φ0

電場強度的大小

電場力的大小

(2)因粒子的總能量(動能與電勢能之和)為負數(即-A)，故粒子的電勢能一定為負數，且該負數的絕對值大于動能的絕對值.根據電勢能等于電荷量(連同符號)與電勢的乘積，又由于該粒子帶負電，所以粒子必在電勢為正值的電場中做往復運動，由此可推知，粒子只能在x軸上的-d與d兩點之間(不含-d與d兩點)做往復運動.

圖4

設粒子在區間(-x0，x0)內做往復運動， 由圖4可知，-x0與x0兩點的電勢相等，設這兩點的電勢為φx，由電勢能定義，帶負電的粒子在這兩點的電勢能為-qφx，又由于該粒子在這兩點的動能為零(兩端點無速度)，可得粒子總能量等于其電勢能，即

-A=-qφx

故有

(1)

在圖4中，由兩直角三角形相似，有

(2)

由(1)、(2)兩式消去φx得

(3)

故粒子的運動區間為

(3)粒子從兩端點(-x0或x0)向平衡位置(原點)做勻加速直線運動，設所用時間為t，由位移關系有

(4)

由牛頓第二定律得

qE =ma

即

(5)

由式(3)、(4)、(5)聯立解得

故粒子的運動周期