山地滑雪中的力學(xué)問題

單小華

(紹興縣鑒湖中學(xué) 浙江 紹興 312030)

滑雪運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)具有詩情畫意的體育運(yùn)動(dòng)，它既有美麗的雪景為舞臺(tái)，又有體育運(yùn)動(dòng)的驚險(xiǎn)和激烈，給人一種美與力量的享受.下面筆者運(yùn)用力學(xué)知識(shí)就山地滑雪運(yùn)動(dòng)探究幾個(gè)值得關(guān)注的問題.

1 滑道應(yīng)有多長

圖1

跳臺(tái)滑雪是山地滑雪的一個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目；在實(shí)際比賽中，滑道長度是一定的.滑雪運(yùn)動(dòng)員在滑道上加速下滑，直到跳臺(tái)，然后從跳臺(tái)上滑出，在空中飛行一段距離后平穩(wěn)落地.設(shè)一般比賽滑道為37°的斜坡，平臺(tái)出口處有一約為10°的小仰角，跳臺(tái)下面又是坡度約為30°的斜坡(圖1).1976年在聯(lián)邦德國的奧伯斯特洛夫跳臺(tái)舉辦跳臺(tái)滑雪比賽中，奧地利運(yùn)動(dòng)員T·英瑙爾創(chuàng)造了176 m的飛行距離.假設(shè)運(yùn)動(dòng)員滑板與雪道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中所受的其他阻力忽略不計(jì)，假如滑道的長度根據(jù)運(yùn)動(dòng)員的滑程來設(shè)計(jì).設(shè)問：運(yùn)動(dòng)員必須在滑道上滑過多長距離？(假設(shè)運(yùn)動(dòng)員可看作質(zhì)點(diǎn)，BC段的能量損失和速度大小變化不計(jì))

解析：這是一個(gè)直線運(yùn)動(dòng)和拋體運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，可以分兩段運(yùn)動(dòng)加以研究，第一段是勻變速直線運(yùn)動(dòng)；第二段是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，并注意到它們的聯(lián)系——飛出點(diǎn)的速度.

圖2

x=scosθ=vtcosα

(1)

(2)

由(1)、(2)式可得

解得

(3)

將(3)式代入(1)式可得v=33 m/s

運(yùn)動(dòng)員在滑道上的加速度為

a=gsinβ-μgcosβ=4.4 m/s2

則

當(dāng)然，由于阻力等原因，實(shí)際滑道比這個(gè)值還要大些.

2 什么時(shí)候拍攝滑雪運(yùn)動(dòng)員的英姿最為壯觀

跳臺(tái)滑雪是一項(xiàng)勇敢者的運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)員穿著專用滑雪板，不帶雪杖在助滑道上獲得速度后，在空中高高飛翔，極為壯觀.假若你是一位攝影愛好者，想記錄這一壯觀的情景，應(yīng)在什么時(shí)候按下快門，才能獲得運(yùn)動(dòng)員的最佳英姿呢？問題很簡單，應(yīng)在運(yùn)動(dòng)員離開雪地斜面最遠(yuǎn)的瞬間.那么,攝影愛好者應(yīng)在滑雪運(yùn)動(dòng)員躍起飛出后多長時(shí)間按下快門？

圖3

解析：運(yùn)動(dòng)員離開雪地斜面最遠(yuǎn)的瞬間，應(yīng)是滑雪者的速度方向與坡面平行時(shí),即速度方向與水平方向成θ=30°角(圖3).由拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知

vsinα-gt=-vtsinθ

(4)

vcosα=vtcosθ

(5)

3 滑道上運(yùn)動(dòng)員為什么身體要向上傾斜

在觀看跳臺(tái)滑雪時(shí)，你是否注意到運(yùn)動(dòng)員從跳臺(tái)上飛出后在空中飛行，身體努力與滑雪板保持平行，并且身體與水平面向上成一傾角，好似沿著拋物線軌跡向前飛行.據(jù)介紹，這一傾角最好維持在8°～10°左右.

圖4

分析：我們可根據(jù)流體力學(xué)原理定性分析為什么運(yùn)動(dòng)員要向上傾斜一定角度；粗略畫出運(yùn)動(dòng)員飛行時(shí)空氣流線如圖4所示.由于運(yùn)動(dòng)員身體向上傾斜，運(yùn)動(dòng)員下方空氣流動(dòng)的空間大，流線疏，流速小；反之，運(yùn)動(dòng)員上方，流線密，流速大.由伯努利方程可知，流速大處壓強(qiáng)小，反之亦然.故運(yùn)動(dòng)員下方壓強(qiáng)大，上方壓強(qiáng)小.由于這個(gè)壓強(qiáng)差的存在，就產(chǎn)生了作用在運(yùn)動(dòng)員身上向上的升力.另一方面，由于空氣阻力與運(yùn)動(dòng)方向相反，又與正對(duì)面積有關(guān)，如果傾角太大，人與氣流的正對(duì)面積增大，空氣阻力也將會(huì)增大.因此，只能傾斜一定的角度，才能達(dá)到既不增大阻力，又產(chǎn)生向上的升力的效果.

4 雪地大回轉(zhuǎn)的最短時(shí)間是多少

山地滑雪運(yùn)動(dòng)有一種叫雪地大回轉(zhuǎn)，它要求運(yùn)動(dòng)員在滑行過程中必須繞過門旗，即要求運(yùn)動(dòng)員不斷改變滑行方向.

圖5

設(shè)旗門和運(yùn)動(dòng)員滑行的路徑如圖5所示，一般門旗寬為50 cm，門旗間距2y=10 m.設(shè)運(yùn)動(dòng)員以恒定的速率從A點(diǎn)出發(fā)，要繞過10面門旗達(dá)到終點(diǎn).試問運(yùn)動(dòng)員至少要用多長時(shí)間？(設(shè)運(yùn)動(dòng)員與雪地間動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，運(yùn)動(dòng)員為了不碰到門旗，重心至少離門旗20 cm，并設(shè)運(yùn)動(dòng)員繞旗行進(jìn)的曲線是圓弧)

解析：這是一個(gè)部分圓周運(yùn)動(dòng)的問題.從表面上看，與運(yùn)動(dòng)時(shí)間有關(guān)的速率v和圓周半徑R都是未知的，但事實(shí)上，運(yùn)動(dòng)員做圓周運(yùn)動(dòng)的最大向心力是已知的f=μmg.由向心力產(chǎn)生向心加速度可知，速率與運(yùn)動(dòng)半徑的關(guān)系是確定的.另一方面，由于不碰門旗的要求，半徑和旗門寬度之間也滿足一定的幾何關(guān)系.

根據(jù)題意，要求運(yùn)動(dòng)員滑行時(shí)間最短，即要解出運(yùn)動(dòng)員可滑行的最大速度和最短路徑(弧長).由圖5可知，曲線的半徑越大，弧長越短.因此,我們可以求出運(yùn)動(dòng)員不碰門旗的最大滑行半徑，結(jié)合圖中已知量，門旗寬度d=0.5 m,運(yùn)動(dòng)員的重心到門旗邊的最小距離b=0.2 m.根據(jù)幾何關(guān)系中圓內(nèi)的相交弦定理，可得

代入數(shù)值可得x=27.55 m

運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過一個(gè)旗門繞過的弧長

s=Rα=28×0.36 m=10 m

總長則為

L=100 m

另一方面確定運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)彎的最大速率

由此可見，運(yùn)動(dòng)員在滑行過程中，要做到既不碰門旗，又具有最短時(shí)間是有很強(qiáng)的運(yùn)動(dòng)技能的.當(dāng)然還可進(jìn)一步拓展：運(yùn)動(dòng)員滑雪時(shí)，為什么有時(shí)重心要下降，有時(shí)身體又要站起來?

在高考物理試題中，每年都會(huì)有些試題以實(shí)際問題作為背景，考查學(xué)生從實(shí)際問題中抽象和構(gòu)建物理模型的能力，這類題型考生感到困難.因此在平時(shí)的教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生，對(duì)一些實(shí)際問題進(jìn)行多角度、深入地探究，在培養(yǎng)學(xué)生探究能力的同時(shí)，也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣，這符合新課程的教學(xué)理念.