山地滑雪中的力學問題

單小華

(紹興縣鑒湖中學 浙江 紹興 312030)

滑雪運動是一項具有詩情畫意的體育運動，它既有美麗的雪景為舞臺，又有體育運動的驚險和激烈，給人一種美與力量的享受.下面筆者運用力學知識就山地滑雪運動探究幾個值得關注的問題.

1 滑道應有多長

圖1

跳臺滑雪是山地滑雪的一個運動項目；在實際比賽中，滑道長度是一定的.滑雪運動員在滑道上加速下滑，直到跳臺，然后從跳臺上滑出，在空中飛行一段距離后平穩落地.設一般比賽滑道為37°的斜坡，平臺出口處有一約為10°的小仰角，跳臺下面又是坡度約為30°的斜坡(圖1).1976年在聯邦德國的奧伯斯特洛夫跳臺舉辦跳臺滑雪比賽中，奧地利運動員T·英瑙爾創造了176 m的飛行距離.假設運動員滑板與雪道間的動摩擦因數為0.2，運動員在運動過程中所受的其他阻力忽略不計，假如滑道的長度根據運動員的滑程來設計.設問：運動員必須在滑道上滑過多長距離？(假設運動員可看作質點，BC段的能量損失和速度大小變化不計)

解析：這是一個直線運動和拋體運動相結合的運動學問題，可以分兩段運動加以研究，第一段是勻變速直線運動；第二段是勻變速曲線運動，并注意到它們的聯系——飛出點的速度.

圖2

x=scosθ=vtcosα

(1)

(2)

由(1)、(2)式可得

解得

(3)

將(3)式代入(1)式可得v=33 m/s

運動員在滑道上的加速度為

a=gsinβ-μgcosβ=4.4 m/s2

則

當然，由于阻力等原因，實際滑道比這個值還要大些.

2 什么時候拍攝滑雪運動員的英姿最為壯觀

跳臺滑雪是一項勇敢者的運動.運動員穿著專用滑雪板，不帶雪杖在助滑道上獲得速度后，在空中高高飛翔，極為壯觀.假若你是一位攝影愛好者，想記錄這一壯觀的情景，應在什么時候按下快門，才能獲得運動員的最佳英姿呢？問題很簡單，應在運動員離開雪地斜面最遠的瞬間.那么,攝影愛好者應在滑雪運動員躍起飛出后多長時間按下快門？

圖3

解析：運動員離開雪地斜面最遠的瞬間，應是滑雪者的速度方向與坡面平行時,即速度方向與水平方向成θ=30°角(圖3).由拋體運動的規律可知

vsinα-gt=-vtsinθ

(4)

vcosα=vtcosθ

(5)

3 滑道上運動員為什么身體要向上傾斜

在觀看跳臺滑雪時，你是否注意到運動員從跳臺上飛出后在空中飛行，身體努力與滑雪板保持平行，并且身體與水平面向上成一傾角，好似沿著拋物線軌跡向前飛行.據介紹，這一傾角最好維持在8°～10°左右.

圖4

分析：我們可根據流體力學原理定性分析為什么運動員要向上傾斜一定角度；粗略畫出運動員飛行時空氣流線如圖4所示.由于運動員身體向上傾斜，運動員下方空氣流動的空間大，流線疏，流速小；反之，運動員上方，流線密，流速大.由伯努利方程可知，流速大處壓強小，反之亦然.故運動員下方壓強大，上方壓強小.由于這個壓強差的存在，就產生了作用在運動員身上向上的升力.另一方面，由于空氣阻力與運動方向相反，又與正對面積有關，如果傾角太大，人與氣流的正對面積增大，空氣阻力也將會增大.因此，只能傾斜一定的角度，才能達到既不增大阻力，又產生向上的升力的效果.

4 雪地大回轉的最短時間是多少

山地滑雪運動有一種叫雪地大回轉，它要求運動員在滑行過程中必須繞過門旗，即要求運動員不斷改變滑行方向.

圖5

設旗門和運動員滑行的路徑如圖5所示，一般門旗寬為50 cm，門旗間距2y=10 m.設運動員以恒定的速率從A點出發，要繞過10面門旗達到終點.試問運動員至少要用多長時間？(設運動員與雪地間動摩擦因數為0.2，運動員為了不碰到門旗，重心至少離門旗20 cm，并設運動員繞旗行進的曲線是圓弧)

解析：這是一個部分圓周運動的問題.從表面上看，與運動時間有關的速率v和圓周半徑R都是未知的，但事實上，運動員做圓周運動的最大向心力是已知的f=μmg.由向心力產生向心加速度可知，速率與運動半徑的關系是確定的.另一方面，由于不碰門旗的要求，半徑和旗門寬度之間也滿足一定的幾何關系.

根據題意，要求運動員滑行時間最短，即要解出運動員可滑行的最大速度和最短路徑(弧長).由圖5可知，曲線的半徑越大，弧長越短.因此,我們可以求出運動員不碰門旗的最大滑行半徑，結合圖中已知量，門旗寬度d=0.5 m,運動員的重心到門旗邊的最小距離b=0.2 m.根據幾何關系中圓內的相交弦定理，可得

代入數值可得x=27.55 m

運動員經過一個旗門繞過的弧長

s=Rα=28×0.36 m=10 m

總長則為

L=100 m

另一方面確定運動員轉彎的最大速率

由此可見，運動員在滑行過程中，要做到既不碰門旗，又具有最短時間是有很強的運動技能的.當然還可進一步拓展：運動員滑雪時，為什么有時重心要下降，有時身體又要站起來?

在高考物理試題中，每年都會有些試題以實際問題作為背景，考查學生從實際問題中抽象和構建物理模型的能力，這類題型考生感到困難.因此在平時的教學中，教師要有意識地引導學生，對一些實際問題進行多角度、深入地探究，在培養學生探究能力的同時，也能激發學生學習物理的興趣，這符合新課程的教學理念.