磁共振成像中數據空間與k空間轉化的推導及討論*①

侯淑蓮 王廣新 趙強 謝寰彤 李石玉

(河北聯合大學 河北 唐山 063000)

磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging，簡稱 MRI)與X-CT、超聲、SPECT等成像的最大不同是沒有外在的放射源，產生的信號強度沒有與坐標的直接對應關系.MRI利用處于磁場中具有磁矩的氫原子核受到射頻脈沖的激勵后，在接收線圈中產生感生電信號；通過一系列的物理手段使信號既帶有生物組織信息又帶有坐標(位置)信息，然后采集這些信號.用射頻脈沖激發，這涉及到射頻脈沖的類型、幅度、寬度、施加的時刻、持續的時間.如果把成像斷層分成體素，各體素產生的信號強度依賴于體素內自旋核密度及環境，采集這些信號還原自旋核密度的空間分布就是實現圖像重建.為了使信號中帶有坐標信息，目前通用的方法是通過施加梯度磁場用頻率去標示這些體素的坐標.這就涉及到梯度磁場施加的方向、時刻、順序、持續的時間等.其次是信號的采集，是直接采集FID信號還是采集回波，是梯度回波還是自旋回波，在哪一時刻采集，用什么方式采集，要采集反映生物組織哪一方面特征的信息，如何加快采集速度提高信噪比等等.出現了各種各樣的參數和各種各樣的脈沖序列,使得磁共振成像原理變得異常復雜和難以理解.為了更方便地處理以上問題，使采集到的時間域信號更快地實現模 - 數轉換，更好地利用在頻率域處理信號簡單、快捷的優勢,通過傅里葉變換實現圖像重建引入“k空間”的概念.實際是用計算機存儲數據的一個方法.由于它不是一個物理空間,而與成像的物理空間又有非常密切的關系,所以對于初學者來說，k空間既是一個很難理解的概念，又是一個很重要的空間.它是為傅里葉變換圖像重建提供數據、提供重要圖像解釋方式的基礎.有了它，不必采用復雜的數學演算就可以進行脈沖序列的信號強度、組織對比、優勢、缺陷以及對應的偽像、分辨率、信噪比的討論.它也是MRI儀器制造過程中的關鍵技術之一.

現行教科書中,k空間的引入大多數僅限于定性討論，很難深入理解;有的推導雖然注意了科學性與嚴密性，但又太高深，使數理基礎不太深厚的醫學專業的學生理解起來有困難.現嘗試用普通物理學的方法引入k空間，并對其實質給予進一步的分析.

1 一維傅里葉變換圖像重建與k空間的引入

傅里葉變換及逆變換如下

(1)

(2)

時域信號與頻域信號可通過傅里葉變換相互轉化，MRI中坐標是用頻率與相位表示的，所以傅里葉變換圖像重建是MRI的最佳選擇.圖1給出了傅里葉變換圖像重建用頻率表示空間位置的原理.

圖1

(3)

圖2 旋轉磁場在靜止線圈中產生感生電動勢

由此出發考查一個自旋核一維分布的樣本.設體素沿x方向，自旋核密度為ρ(x)，設主磁場B0方向為z方向.由于氫核自旋對于外磁場的取向作用使氫核的基態能級發生分裂，使樣本中每一個體素產生沿主磁場方向的磁矩dMz，整個樣本沿主磁場產生的總磁矩為M0，如圖3(a).設沿x方向施加90°射頻(RF)脈沖，則各dMz或M0一方面繞主磁場

圖3 磁共振信號的產生

B0旋進，另一方面繞射頻磁場BRF旋進，如圖3(b)，總效果是旋轉著倒向xOy平面(可設倒向y軸)，一般忽略弛豫衰減有dMxy=dM0，各體素磁矩同相位，如圖3(c).此后RF結束橫向磁化強度矢量失去射頻脈沖的束縛，自由地在xOy平面旋進，由于局部磁場的差異很快散相即所謂弛豫，產生信號，如圖3(d).為了建立信號的坐標，90°RF后加線性梯度場Gx進行頻率編碼，如圖3(e).頻率編碼的同時，采集時域信號，并把此信號轉化為用k表示的頻域信號數據，存貯到計算機的一個空間叫做k空間填充，后面有專門的介紹，見圖3(f).設90°RF結束時，t=0，各體素有相同的初相位，且φ0=0，并假設主磁場均勻，不存在橫向分量，則由

ω=γB[3]

(4)

傾倒后的橫向磁化強度矢量dMxy進動頻率為

ω=ω0+Δω=ω0+γGxx

(5)

用頻率標記坐標.設接收線圈法線沿y軸，將dMxy用復數表示將更方便[3]

dMxy= (dMy+idMx)e-t/T2=

dM0(cosωt+isinωt)e-t/T2=

dM0eiωte-t/T2

(6)

其中e-t/T2為橫向弛豫(衰減)項，t=TE時采集信號.當TE?T2時，可忽略弛豫衰減(也可歸入等效自旋密度之中)，所以有dMxy=dM0eiωt.由式(3)可知，信號(感生電動勢)的強度與旋轉角頻率ω成正比，與磁感應強度成正比;在本問題中也就是與磁化強度矢量dM0成正比，而dM0∝自旋核密度ρ(x)，每個體素產生的信號

dε∝ρ(x)ω(x)eiωtdx

信號的強度還與弛豫時間、溫度、電子線路、場及其他一些復雜因素有關，但自旋核密度是最基本的成像參數，不存在自旋核的地方不會有信號，其他因素依賴于自旋核密度，把上式寫為等式

dε=Λρ(x)ω(x)eiωtdx

為了研究方便,引入有效自旋密度概念.于是令ρ(x)=Λωxρ作為有效自旋密度，其中Λ為比例系數，包括了影響信號的一些因素，采集到的信號

(7)

積分范圍是自旋核密度不為零的區域.為了旋進的穩定性，射頻脈沖是一個旋轉磁場，其角頻率與dMz繞著主磁場旋進的角頻率相同為ω0.建立旋轉坐標系，與實驗室坐標系z軸相同.若以旋轉坐標系為參考系(相當于信號解調)，由

ω=ω0+Δω=ω0+γGx·x

則在旋轉坐標系中,dMxy旋轉的角速度為Δω=γxGx.把相位用角度表示，式(7)變為

(8)

負號表示橫向矢量旋進角速度方向與確定相位角(逆時針為正)的方向相反.令kx=γGx·t,量綱為Hz·cm-1,稱做空間頻率，表示沿空間某一方向單位距離內波動的周期數，是一個矢量，又稱為波數.這樣就把時間t隱含到空間頻率之中，式(8)可寫為

(9)

顯然，(9)式恰恰是等效自旋核密度ρ(x)的傅里葉變換式.通過線性變換把用時域信號S(t)表示的采集信號轉化為用頻域信號S(kx)表示出來，把信號與自旋密度聯系起來.從傅里葉的逆變換則很容易得到自旋核的密度分布，重建圖像

(10)

由以上研究可見，用k標記的信號就是有效自旋核密度沿線性梯度方向的傅里葉變換，變換的變量是空間頻率k，隨時間和梯度強度變化.所以一維空間成像通過頻率編碼用頻率記錄空間位置的信息，用這些以頻率表示的數據組成新的結構——k空間.具體形成過程如下：設一維樣本含有Nx個體素，每次采集到的信號是所有體素信號的和，從數學原理上來說，需有Nx次采集才能解出各體素的信號強度(或密度).在施加頻率編碼持續時間t2內,在t=τ,2τ,3τ,…以等間隔時間τ連續采集Nx次，形成Nx個以k表示的數據點，組成一行，形成一維的一個數據空間，由于用k作變量就稱為k空間，相鄰點間的頻率差為Δω=γGxΔx.顯然以一定順序儲存數據S(k)的空間就是k空間.以上是從理論上對傅里葉變換、k空間的物理意義而作的簡化推導,淺顯易懂.在MRI實際制造中，直接把接收到的時域信號S(t)通過傅里葉變換化為頻域函數

(11)

進行傅里葉空間填充，然后作傅里葉逆變換實現圖像重建，式(11)與式(9)是等價的.

2 二維傅里葉變換及k空間的形成

對于二維樣本假設由Nx×Ny個體素構成.要想使每一個體素都具有用頻率表示的坐標，除了在x方向施加線性梯度場Gx頻率編碼外，還要在y方向施加相位編碼線性梯度場Gy，使二維斷面上的體素再獲得用頻率表征的縱坐標.具體過程是RF脈沖后核磁矩倒向y軸，首先，施加相位編碼梯度場持續時間t1,結束時不同y坐標的體素獲得不同的相位，接著施加頻率編碼梯度場同時采集時間域信號S(t1,t2)，轉化成用kx，ky表示的一行數據，形成k空間的一行，將式(8)應用到二維

S(kx,ky)=?dxdyρ(x,y)e-i2π(kxx+kyy)

(12)

其中

ky=γGy·t1kx=γGx·t2

(13)

積分范圍遍及自旋核存在的區域.與一維一樣，式(12)是等效自旋核密度ρ(x)的傅里葉變換式，所以對(12)式進行二維傅里葉逆變換即得到有效自旋密度分布函數，實現圖像重建

ρ(x,y)=?S(kx,ky)ei2π(kxx+kyy)dkxdky

(14)

與一維情況一樣，S(kx,ky)可通過采集的時域函數S(t1,t2)的二維傅里葉變換得到

S(kx,ky)=?S(t1,t2)e-2πi(kxx+kyy)dxdy

(15)

對Nx×Ny體素平面，需要采集到Nx×Ny個信號;所以相位編碼需進行Ny次.現在加相位編碼梯度場的方法是由負向最大等間隔增加到正向最大，一次相位編碼對應一次頻率編碼采集Nx個信號對應k空間的一行，Gy=0對應k空間中央行.相位編碼進行Ny次后，填滿Ny行，組成Nx×Ny的二維k空間.最終圖像重建信號經傅里葉逆變換實現，一般經計算機軟件處理來完成.二維傅里葉變換結果一般用復數表示，其實部作為幅度頻譜表示強度或灰度，虛部為相位頻譜表示坐標.

3 關于k空間

(1)k空間與成像物理空間

k空間每一個數據點都是斷層上所有體素貢獻的.雖然二維空間是由二維數據點構成，但并不與物理空間直接對應.k空間內的頻率編碼軸不直接對應最終圖像的頻率編碼軸，頻率編碼軸的左右兩極并不對應MR圖像的左側和右側部分，而是對應此軸線上圖像的細節.但k空間與真實成像平面物理空間是有關系的,若以Δωmax表示成像物體兩端對應的最大頻率差有

Δωmax=γGxNxΔx=γGxFOVx

(16)

上式中，視野(Field of View,FOV)FOVx=NxΔx.設k空間一行中相鄰點間頻率差為Δω，可見要得到同樣Δω，增加磁場梯度即可減小Δx，就是提高了分辨力，增加采集次數可增大視野.相位編碼方向與x方向類似.又由頻率與周期的倒數關系可得到同一行中相鄰點之間點距Δkx

(17)

(2)k空間數據在圖像重建中的作用

在ky=0的中央行，MR信號是在Gy=0時獲得的，不存在相位編碼梯度磁場產生的散相，信號的幅度也就最大；隨著Gy正負方向的增加，相位編碼梯度磁場引起的散相也開始增加，信號的幅度也就降低了.在x方向也是如此.kx=0時采集的信號正好是每個回波的中心，因而幅度最大；而在k空間的周圍列，MR信號采集時則是回波的旁邊部分.總之，越靠近k空間邊緣，信號越弱.所以k空間中心部分對應的MR信號幅度大，主要形成圖像的對比度.由k空間中的行距Δky和同一行Δkx及Δωx=γGxΔx,Δωy=γΔyGy表明，對于同樣的空間兩點間的距離Δx或Δy梯度場越大,對應的頻率差別越大,則兩點分得越開，分辨率越好.所以對k空間的外圍部分雖然信號幅度低,但能很好的分辨細節，用來產生圖像的分辨率.通過k空間分析磁共振成像已成為最方便最重要的手段.所以k空間是MRI研究中非常重要的空間.

參考文獻

1 E.Mark Haacke,Robert W.Brown,et al著.曾曉莊，包尚聯譯.核磁共振成像物理原理和脈沖序列設計. 北京：中國醫藥科技出版社,2007

2 趙凱華,陳熙謀.電磁學. 北京：高等教育出版社,1985

3 俎棟林.核磁共振成像學. 北京：高等教育出版社,2004