紅色旅游模型

楊 楠，劉興祥，李 艷

(延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000 )

1 問題的提出

1.1 問題背景

隨著物質文化水平的提高，旅游已成為人們日常生活的基本消費之一。作為中國共產黨保持黨員先進性教育的獨特載體，紅色旅游已逐漸成為兼具政治教育、經濟發展、文化傳播及愛國主義等功能的一種新興的旅游產品。2004年下半年，紅色旅游熱席卷全國，據調查，陜西省具有影響的紅色旅游資源共486個而延安就有360個，但是這些景點分布較差，市內集中而其它縣上分散［4］，致使很多來延安的游客僅參觀城區內景點，對其周邊如志丹、洛川等紅色旅游資源光顧較少，這樣旅游者收獲較少，導致很多人不愿意來。因此，為旅游者設計一個令人滿意的旅游方案，讓他們在有限的時間、費用范圍內滿意而歸就顯得尤為重要。

1.2 要解決的問題

現在有6個來延安旅游的大學生，針對以下問題為他們設計各自的旅游方案。

問題1:其中3個學生由于要跑遍全國紅色旅游區，時間倉促，只是有選擇性的游覽幾個景點:從楊家嶺出發最后到黃帝陵，其中市內新聞紀念館、鳳凰山麓革命舊址、棗園任選一處，延安市周邊的瓦窯堡革命舊址、南泥灣、劉志丹墓(含抗日紅軍大學舊址)任選一處，洛川會議舊址、壺口瀑布任選一處。運用任何一種數學方法，給他們設計出一條旅游路線，要使得所經過的路線最短。

問題2:另外3個學生是來延安進行專門的革命精神學習，為他們設計的方案要滿足如下要求:

(1)在盡可能短(4天內)的時間游完以下景點:楊家嶺、王家坪、鳳凰山、寶塔山、清涼山、棗園、安塞博物館、四八烈士陵園、洛川會議舊址、劉志丹墓、抗日紅軍大學舊址、南泥灣、壺口瀑布、黃帝陵;

(2)從延安大學出發游覽完各景點后回到延安大學，進行為期數天的革命精神學習(只考慮旅游期間)。

(3)3個人旅游結束總費用不超過2000 元;

(4)詳盡設計出這幾天的旅游方案，包括:

①費用支出單(如車船費、門票費、交通費等);

②路線圖(時間、行車路線及方式、景點名稱等);(5)并用相關的數學知識描述你的方案，以證明該方案的合理性、正確性及可行性，力求達到時間較少、路程較短、費用較少、收獲較大;

1.3 調查數據及其說明

1.3.1 景點距離表(見表1)

1.3.2 游覽完各景點所需時間(見表2)

1.3.3 各景點間距離矩陣(略)(其中市周邊距離根據路線圖得出，市內景點采用了不同比例尺的地圖)。

1.3.4 門票一覽表(見表3)

1.3.5 各景點之間時間費用表:(略)(通過查閱旅游資料得出)

表1 部分景點距離表

表2 景點游覽時間表

表3 景點門票價格表

2 問題分析及建模思路

針對問題1，它實際是要解決這樣一個問題:在n個景點中走完k個符合題目要求的景點，共分成k個階段，每個階段選擇一個景點。建立模型之前可以先畫出一個簡圖，從圖中可得到數條從始點到終點的路線，再把兩景點間的距離作為他們之間的權值，滿足距離最短，我們可以考慮運用動態規劃的基本思想每一步求他的最短距離，進而得出最優結果。

針對問題2，它的要求比問題1復雜多了。首先景點數目增加了許多，這里為了簡化問題，我們把所有景點分為兩部分考慮，較集中的景點作為一個整體考慮，再把這個整體與其他分散景點放在一起考慮，即延安市內(寶塔山、清涼山、楊家嶺、王家坪、鳳凰山、棗園、四八烈士陵園、南泥灣)，市外(黃帝陵、壺口瀑布、洛川會議舊址、劉志丹墓、抗大舊址、安塞博物館)分別討論，另一復雜之處，它不僅考慮了路程還考慮到了時間、費用等問題，我們可以在滿足路程短的情況下考慮時間和費用，建立一個目標規劃模型。

3 模型假設

(1)不考慮因季節等變化而引起的票價、時間等的變化。

(2)假設每天早餐在8點前吃完，每天計劃時間從早上8:00到晚上7:00，中午12:00吃午飯，2:00出發，中間兩小時為吃飯休息時間，下午飯七點后吃。

(3)市內不考慮各種原因引起的賭車現象，市外不考慮因天氣等原因引起的班車不發等現象，假設一游覽完不用等就有車發。

(4)若一個景點沒有游覽完時就到吃飯時間，我們就假設在景點附近吃飯、休息后再游覽。

(5)根據延安實際消費水平，我們假設3個人每天吃飯花費為70～80元，住宿花費為60～90元。

4 符號說明

5 模型的建立

5.1 模型Ⅰ的建立

該問題實質是在k個不同區域內各選擇一個目標，使得這些目標的連線距離最短，我們把這k個區域可以看成k個階段，uk(sk)為第k階段sk點的方案選擇，我們主要采用逆序遞推方法得出始點到終點的最短距離，即從終點開始，往回計算每個節點到節點n的最短路線，直到始點為止［5］。

fk(sk)表示第k階段sk狀態是的最優策略，它與狀態值sk以及sk以后所選取的策略有關，k值從最后一個階段開始直到第一階段，我們可以得到這樣一個求得最優策略的公式:

這就是第k和第k+1階段的遞推關系式，表示第k階段sk狀態時的最優策略為該狀態點采用決策uk時的距離與后一階段最優策略之和的最小值。通過這個式子可以求得各個階段各個狀態點的最優策略，直到k=1時得出整個問題的最優策略。

對于問題2，由于景點多且市內景點較集中，放在一起考慮比較復雜，為了簡化問題，我們把所有景點分成兩部分考慮，市內和市外，這時我們只需解決兩個小規模問題，并且方法是相同的，最后給出路線、時間表時把二者結合起來就可以了。

對于市內除南泥灣外的景點，得到路線順序后我們認為前后兩景點間均乘公交，因為市內公交多、方便且省錢，而對于市外景點，我們考慮租車和坐班車(具體情況具體分析，若有飛機、船等交通工具也可考慮在內，只是模型Ⅲ稍作改變)兩種情況，進而建立模型Ⅲ來決定在時間和費用的共同約束下該采用哪種交通工具。

5.2 模型Ⅱ的建立

要把所有景點走完返回學校進行學習，這類似于旅行推銷商問題，幾個景點都可以相互到達，有很多條路，旅游者希望總路程短，求出一個訪問n個景點的旅游路線，每個景點都被游覽到，且只游覽一次.dij表示從景點i到景點j的距離，我們可以給出如下整數規劃模型［5］:

該模型第一個約束是保證每個景點必須走到，第二個表示旅游者必須離開每個景點，第三個約束是防止子回路的出現。

5.3 模型Ⅲ的建立

這里要解決的問題是如何滿足費用盡可能少，時間盡可能短，當然這也是在一定范圍內(在求解延安旅游問題時我們會給出估算過程)。d+j、dj分別表示目標j的左右偏差值，即實際值與理想值的一個差量，fj(x)、f*j分別表示實際值與目標值，wj為不同游客對各目標層的權重系數。為了找到各個目標之間的一個較佳平衡點，我們建立如下模型［6］:

目標函數表示所有目標偏差和取最小值，前兩個約束表示走完這幾個景點要么坐班車要么租車，總費用和時間盡量接近目標值。

6 基于實際問題的模型求解

6.1 問題1的求解

根據題目要求，我們可以畫出如下簡圖:

6.2 問題2中模型Ⅱ的求解

由前面距離矩陣我們可以知道任意兩景點間的距離，此時只需把n改為6，即把如下模型求解兩次即可得到兩個圖的最短路線。

此模型運用lingo9.0進行求解(略)，得出兩條最短路線。

6.3 問題2中模型Ⅲ的求解

在模型II結果的基礎上要考慮時間和費用，也就是說有兩個目標層，即p=2，根據游客對于費用和時間的重視度，取的取值我們模型后給出了估算。

該模型在lingo9.0中進行求解，得出結果。當然也可以根據具體數據給出費用和時間的理想值的估算過程及行程安排及費用支出表(略)。

7 模型評價與改進

7.1 模型評價

優點是3個模型均具有普遍適用性，我們先從一般情況著手得出模型，再針對具體問題結合數據進行解決.對于問題2我們考慮影響方案合理性的各種因素，分步進行解決。得出較合理的旅游方案。另外，三個模型都具有較強的實用性，易于推廣到具有多個影響因素的情況。缺點是一些數據中，我們對數據進行了必要的處理，與實際情況存在偏差。

7.2 模型改進

對于問題2，如果能把模型Ⅱ的路線圖量化后很好地與模型Ⅲ結合起來，把問題完全轉化為目標規劃問題，得出的更優方案。

［1］《西北自助游》編寫組.西北自助游［M］.北京:中國輕工業出版社，2004:401－411.

［2］安剛.中國南方北方游［M］.北京:中國電影出版社，2005:230－235

［3］西安地圖出版社編制.陜西省交通旅游指南［M］.西安:西安地圖出版社，2006:9.

［4］劉曉華.從營銷角度看延安旅游業［J］.延安大學學報(社會科學版)，2007(2):63－66

［5］徐玖平，胡知能.運籌學——數據·模型·決策［M］.北京:科學出版社，2006.

［6］徐玖平，胡知能，李軍.運籌學(II類)［M］.北京:科學出版社，2004.

［7］吳振奎，王全文.運籌學［M］.北京:中國人民大學出版社，2005.

［8］拉塞爾C.沃克.數學規劃導論(英文版)［M］.北京:機械工業出版社，2005，6.

［9］Waynel.Winston.運籌學—應用范例與解法 ［M］.北京:清華大學出版社，2006:8.

［10］楊文鵬，賀興時，楊選良.新編運籌學教程——模型 解法及計算機實現［M］.西安:陜西科學技術出版社，2005:4.

［11］吳建國.數學建模案例精編［M］.北京:中國水利水電出版社，2005.