一類具時(shí)滯和非線性傳染率的SIS傳染病模型的Hopf分支

童姍姍，竇霽虹，王佳穎

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西西安710127）

一類具時(shí)滯和非線性傳染率的SIS傳染病模型的Hopf分支

童姍姍，竇霽虹，王佳穎

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西西安710127）

研究了一類具恢復(fù)期時(shí)滯且發(fā)生率為非線性的SIS傳染病模型，討論了該系統(tǒng)地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。利用Hopf分支理論，以時(shí)間τ為參數(shù)給出了系統(tǒng)在地方病平衡點(diǎn)處產(chǎn)生Hopf分支的充分條件。

Hopf分支；時(shí)滯；非線性傳染率；局部漸近穩(wěn)定

近二十年來(lái)，許多學(xué)者通過(guò)數(shù)學(xué)模型研究傳染病動(dòng)力學(xué)，已有很多成果［1］。傳染病動(dòng)力模型中，最重要的是對(duì)發(fā)生率的描述，在經(jīng)典的流行病模型［2-4］中通常采用雙線性發(fā)生率（βSI）和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率，同時(shí)，對(duì)發(fā)生率為非線性［5-6］的傳染病模型也有一些研究成果。

2009年杜艷可等在文獻(xiàn)［7］中研究了如下一類具非線性發(fā)生率βISp的SIS傳染病模型：

討論了其平衡點(diǎn)以及極限環(huán)的性態(tài)。

SIS傳染病模型特性主要體現(xiàn)在染病者被治愈變?yōu)橐赘姓叩幕謴?fù)階段，故考慮恢復(fù)期時(shí)滯更具實(shí)際意義。本文考慮系統(tǒng)（1）中p=2時(shí)，加入疾病恢復(fù)期時(shí)滯 τ，討論一類具有常數(shù)輸入和發(fā)生率為βIS2的SIS傳染病模型的地方病平衡點(diǎn)穩(wěn)定性與Hopf分支，即

這里，S（t），I（t）分別表示t時(shí)刻易感者的數(shù)目，感染者的數(shù)目，δ表示種群的自然死亡率，δA表示對(duì)種群的輸入率（其中A為無(wú)病狀態(tài)下總種群處于平衡時(shí)的個(gè)體數(shù)），βI（t）S2（t）表示疾病的傳染率，d表示感染者的死亡率，d=δ+ε，ε表示感染者的因病死亡率，α表示感染者的恢復(fù)率，τ≥0為恢復(fù)滯后時(shí)間，根據(jù)生態(tài)學(xué)意義，δ、A、β、d、ε、α都為正常數(shù)。將系統(tǒng)的兩個(gè)方程相加，得到

由于I（t）≥0，所以

1 平衡點(diǎn)分析

2 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及Hopf分支的存在性

為求E*（S*，I*）的近似線性系統(tǒng)，作變換：變換后仍用S，I記X，Y。得到系統(tǒng)在E*（S*，I*）的近似線性系統(tǒng)為：

特征方程為：

其中：

當(dāng)τ=0時(shí)，（3）式變?yōu)?/p>

由Routh-Hurwits判據(jù)知特征方程（4）的根均具有負(fù)實(shí)部，即τ=0時(shí)地方病平衡點(diǎn)E*（S*，I*）在Ω內(nèi)局部漸近穩(wěn)定。

假設(shè)存在某個(gè)τ＞0，使方程有純虛根λ=±iω（ω＞0），代入方程得-ω2+p0+q1ωsinωτ+ q0ωcosωτ+i（p1ω+q1ωcosωτ-q0sinωτ）=0。

則有方程組：

由方程組（5）得：

其中：

則方程兩根為：

引理1 （i）當(dāng)p＞0且q＞0或Δ＜0時(shí)，對(duì)于任意的τ≥0特征方程（3）的所有根皆具有負(fù)實(shí)部。

（ii）當(dāng)q＜0或p＜0且Δ=0時(shí)，且τ=τk+時(shí)，方程（3）有一對(duì)純虛根±iω+，當(dāng)τ=τ0+時(shí)，方程的根除±iω+之外都具有負(fù)實(shí)部。

（iii）當(dāng)q＞0，p＜0且Δ＞0時(shí)，且τ=τk+（τ= τk-）時(shí)，方程（3）有一對(duì)純虛根±iω+（±iω-），當(dāng)τ =τk+（τ=τk-）時(shí)，方程的根除±iω+（±iω-）之外都具有負(fù)實(shí)部。

其中由方程組（5）得：

相應(yīng)于ω±的τk±為

對(duì)于系統(tǒng)（2），通過(guò)計(jì)算分析可知當(dāng)滿足

故當(dāng)τ∈［0，τ0+）時(shí)，方程的根都具有負(fù)實(shí)部，當(dāng)τ=τ0+時(shí)，方程有一對(duì)純虛根±iω+，當(dāng)τ＞τ0+時(shí)，方程的根至少有一個(gè)有正實(shí)部。

相應(yīng)于ω+的τk+為

對(duì)方程（5）兩邊關(guān)于τ求導(dǎo)得

［（2λ+p1）+q1e-λτ-τ（q1λ+q0）e-λτλ（q1λ+q0）e-λτ有

因此

綜上，結(jié)合引理1，Hopf分支定理的條件滿足，從而在E*的附近分支出周期解，有以下結(jié)論：

（i）當(dāng)τ∈［0，τ0+）時(shí)，系統(tǒng)（2）的地方病平衡點(diǎn)在Ω內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的，當(dāng)τ＞τ0+時(shí)，系統(tǒng)（2）的地方病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。

（ii）當(dāng)τ=τk+（k=0，1，2，…）時(shí)，方程除有一對(duì)純虛根±iω+外，其他根均具有負(fù)實(shí)部，此時(shí)系統(tǒng)（2）在E*（S*，I*）處產(chǎn)生Hopf分支。

3 小結(jié)

本文研究了一類具有恢復(fù)期時(shí)滯和非線性發(fā)生率的SIS傳染病模型，分析了地方病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性與Hopf分支，當(dāng)時(shí)滯τ由0變化到臨界值時(shí)，系統(tǒng)在地方病平衡點(diǎn)附近發(fā)生Hopf分支，即當(dāng)τ增加通過(guò)臨界值時(shí)，從地方病平衡點(diǎn)分支出周期解，此時(shí)，疾病會(huì)出現(xiàn)周期震蕩現(xiàn)象。

［1］馬知恩，周義倉(cāng)，王穩(wěn)地等.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究［M］.北京：科學(xué)出版社.

［2］王文娟，辛京奇.一類具有階段結(jié)構(gòu)和分布時(shí)滯的種群-傳染病模型［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，40（14）：114-120.

［3］徐金瑞，王美娟，張擁軍.一類具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的SIS型傳染病模型的全局穩(wěn)定性［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，25（2）：249-256.

［4］郭金生，李曉燕.一類有雙線性發(fā)生率的傳染病模型的定性分析［J］.重慶工學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，22（2）：44-46.

［5］Heesterbeek JA P，Metz JA J.The saturating contact rate in marriage and epidemicmodels［J］.J.Math.Biol.，1993，31：529-539.

［6］Weimin liu，H W Hethcote，S A Levin.Dynamical behavior of epidemiologicalmodelswith nonlinear incidence rate［J］. J.Math.Biol.，1987，25：359-380.

［7］杜艷可，徐瑞，段立江.一類具有非線性發(fā)生率的SIS傳染病模型的定性分析［J］.西南大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，31（3）：9 -13.

［責(zé)任編輯 賀小林］

Hopf Bifurcation of a SIS Epidem ic M odel w ith Time Delay and Nonlinear incidence

TONG Shan-shan，DOU Ji-hong，WANG Jia-ying

（Department of Mathematics，Northwest University，Xian 710127，China）

A class of an SIS epidemic mathematic model with constant recruitment，time delay and nonlinear incidence is studied，and its stability of endemic equilibrium is discussed.By applying the theorem of Hopf bifurcation，the sufficient conditions of the endemic equilibrium occurring Hopf bifurcation with delay as parameter is given.

Hopf bifurcation；time delay；nonlinear incidence；local asymptotic stability

O175.1

A

1004-602X（2011）03-0019-03

2011- 05- 16

童姍姍（1986—），女，河南南陽(yáng)人，西北大學(xué)在讀研究生。