李超三系的實現

張永平， 魯亞男

(沈陽化工大學數理系，遼寧沈陽110142)

李超三系作為一種代數體系，最初源于解物理上的Yang-Baxter方程.Susumu Okubo在研究Yang-Baxter方程的過程中發現了這個體系，并將其命名為李超三系.李超三系與其他諸多代數體系相聯系，尤其與李超代數關系極為密切.由文獻［1］可知，李超代數可生成李超三系.目前對quasi-classical李超三系已有文章對其進行研究.但對李超三系的結構、導子、表示論等一系列問題的研究還不夠完善.本文對李超三系的結構做了一些研究.

1 李超代數及三系的定義

定義1［2］如果超代數L=L0－⊕L1－有一個括積運算［，］滿足如下條件:

則被稱為一個李超代數.

定義2［3］一個Z2-階化向量空間V被稱為一個李超三系，如果它有一個三角積［4］:V⊕V⊕V→V滿足如下條件:

其中，σ(x)表示x的階化次數，指數上的x表示x的階化次數.

2 相關的等式

通過應用(4)式對(6)式做適當的變形，可得如下幾個等式:

再應用(5)、(7)、(8)、(9)式，有

其中，Q、R是(10)式中前4項通過(u，v)，(x，y)，(z，k)的循環得到.

3 李超三系的實現

由文獻［1］可知，在李超代數L上令［x，y，z］=［［x，y］，z］，則L在此定義下是一個李超三系.下面將說明任意一個李超三系均可由這種方法得到.

需要說明向量空間L=V⊕V×V可以構成一個李超代數.

3.1 定義的合理性

在L中，如果?a，b∈V，定義

如果?a，b，c，d∈V，定義

如此定義的［，］是雙線性的.

在(12)式中，左邊若每一個因子是零，那么右邊也是零.因為設∑［a，b］=0，根據商空間定義∑a×b∈R，由R的定義得∑［a，b，c］=0.因此，(12)式的定義是合理的，即單值的.

類似可證，(13)、(14)式的定義也是合理的.

定義L中的一般乘法運算［u，v］，a，b，c，d，e，f∈V，

令u=a+∑［b，c］，v=d+∑［e，f］，定義

由(12)～(14)式可知此定義是合理的.

3.2 驗證L是一個李超代數

首先，說明3.1中的定義［，］是反對稱的，即需驗證?a，b，c，d∈V時下面等式成立.

在李超三系中有

［a，b，x］=－(－1)ab［b，a，x］，即

［a，b，x］=－(－1)ab［b，a，x］=0，

則有

所以(15)式成立.

由(12)和(13)式可知(16)式成立.

將(17)式變形，得到

由(7)式可知(17)式成立.

其次，說明Jacobi等式成立.需要考慮4種情形:

1)所有的元素均在V中;

2)兩個元素在V中，一個元素是［a，b］的形式;

3)一個元素在V中，兩個元素是［a，b］的形式;

4)所有元素均是［a，b］的形式.

第1種情形:?a，b，c∈V，由(12)式，有［［a，b］，c］=［a，b，c］，再由(5)式直接可得到

第2種情形:?a，b，c，d∈V，需要證明

將其變形得

由(8)式可知上式成立.

第3種情形:u=［a，b］，v=［c，d］，w=e，?a，b，c，d，e∈V，需要證明

將其變形得

由(9)式可知上式成立.

第4種情況:u=［a，b］，v=［c，d］，w=［e，f］，?a，b，c，d，e∈V，需要證明

將其變形得

其中，Q、R是上式中前4項通過(a，b)，(c，d) (e，f)的循環得到.

由(10)式可知上式成立.

綜上所述及文獻［1］，得到下面定理:

定理 李超代數與李超三系是一一對應的.

［1］ Okubo S.Parastatistics as Lie-supertriple Systems［J］.J.Math.Phys，1994，35(6):2785－2803.

［2］ Kac V G.Lie Superalgebras［J］.Advances in Mathematics，1977，26:8－96.

［3］ Okubo S，Kamiya N.Quasi-Classical Lie Superalgebras and Lie Supertriple Systems［J］.Communications in Algebra，2002，30(8):3825－3850.

［4］ Okubo S.Triple Products and Yang-Baxter Equation (Ⅱ):Orthogonal and Symplectic Ternary Systems［J］.J.math.phys.，1993，34(7):3292－3315.