P6mm結構二維平面空間群的IR矩陣和IR基的計算

成泰民， 祁 爍

(沈陽化工大學數理系，遼寧沈陽110142)

石墨烯具有原子級的厚度、優異的電學性能、出色的化學穩定性和熱力學穩定性，這些性能使石墨烯在未來納米電子學中具有重要的應用前景，并已成為目前凝聚態物理和材料科學研究的熱點［1］.石墨烯屬于P6mm結構二維平面空間群［2－4］.

在與完整晶體相關問題的研究中，Hamilton量在空間群算符的作用下是不變的，因此空間群的不可約表示指標可用來標志一個粒子或準粒子在晶體中的能級，標志晶體中的電子能帶和聲子色散的曲線［5］.此外掌握了空間群的IR矩陣及其IR基的性質，就能了解Hamilton量本征解的一些性質，并大大簡化Hamilton量本征態的求解過程.此外，在空間群的C-G系數計算中，空間群的IR矩陣也極其重要.

Berenson和Birman(1975)［6－7］以及其他人對空間群C-G系數也都做過研究，但迄今為止，還只計算過極少數情形下的空間群C-G系數.Birman(1974)［6－7，10］預言，一旦空間群C-G系數可以容易的得到，它的很多重要應用會接踵而來.例如晶體中拉曼散射張量，形變效應散射張量，外電磁場誘導下的形變散射張量，紅外吸收中高階矩陣展開式，動力矩陣的對角化等的計算，均與空間群的C-G系數密切相關［6－10］.本文利用陳金全的本征函數法［6－7，11］，計算了二維平面空間群P6mm結構的第一布里淵區的主要對稱點、線上，與波矢群對應的表象群的不可約表示.

1 計算方法

表象群G'K的群元之間乘法滿足

其中，

其中，

m－1;ai(i=1，2，3)是晶體的正格子基矢.

從而可知:

對于表象群G'K，對應η'12=1(即n=0)的群元Ri作gl個基矢.由布洛赫定理可得:

為做出 gl維空間 L(K)的 CSCO-Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ(第一、第二、第三類完備算符集)，引入合適的群鏈G'k?G'(s)，及其對應的內稟群鏈'K?'(s)， 使 (C，C(s)(s)) 構成 L(K) 的 CSCO-Ⅲ.CSCO-Ⅲ的共同本征函數就是G'K?G'(s)分類基(v，K)a和'K?'(s)分類基(v，K)b.即

其中，

把(5)式代入(4)式得

波矢群G(K)的IR基可寫成

將(7)式代入(8)式，并利用(3)式所得結果與(5)式對比可得

但是從(9)式求出的IR矩陣未必正確.對(4)式中本征矢量的位相調節后才能得出正確的IR矩陣.

(1)幺元前的系數必須是正數以保證Dv，K({E|0})=I(單位矩陣).

(2)內稟量子編號為b=1的IR(v)基中除含幺元的IR(v)基外其余的IR(v)基可以任意選取(即相因子任意選取).

將空間群 G按波矢群G(K)的左陪集{βσ|V(βσ)}分解:

空間群G與波矢群G(K)的不可約表示基之間的關系為:

其中b，a=1，2，…，hv;

從(11)式可知，Rτσ∈ G(K)或 Rτσ? G(K).當Rτσ∈G(K)時，(13)式才不為0.因此，當Rτσ?G(K)時，Rτσ作用在上必將改變其波矢K.由于K標志平移群的IR基，而屬于不同IR基之間是正交的.因此，此時(13)式等于0.

未規范變換的表象群GK與規范變換的表象群G'K有相同的IR基，其IR矩陣之間的關系為

其中Vτασ是與αβσ相關的非初始平移.

將(16)式寫成矩陣形式:

其中D(τσ)≡D(v，K)(Rτσ)，其維數為hv的hv× hv矩陣，q=g/gl，g為空間群的點群G0的階數，gl為波矢群G(K)的點群G0(K)的階數.

由于［{E|Rn}，{γ|V(γ)}］=0(即對易)波矢群G(K)與未規范變換的表象群GK的不可約表示之間的關系

由(15)式、(18)式可知，波矢群G(K)與G'K的不可約表示之間的關系

根據(18)式、(19)式可知只要是已知D(v，K)({γ|V(γ)})，空間群的IR矩陣就能算出.因此，本文只討論D(v，K)({γ|V(γ)}).

2 計算結果

考慮到篇幅，本文只給出石墨烯結構(P6mm)第一布里淵區主要對稱點K波矢群的二維平面空間群的IR基與IR矩陣.二維平面空間群P6mm對應的點群是6mm(熊夫利符號C6v)，點群C6v的群元為:

其中R1={E|0}，R2={C6|0}，

(1)BZ區對稱點 K點的波矢群的點群G0(KK)與3mm(熊夫利符號C3v)同構.

C3v群的分類:{E|0};{C3|0}、{|0};共3類.C3v群的階數為6，所以因此，BZ區對稱點K點的波矢群的點群G0(K)以及其表象群G'K與C3v的不可約表示(IR表示)中1個是二維表示、2個是一維表示.

K點波矢群左陪集為{{E|0}，{C6|0}}.即空間群的階數除以K點的波矢群的階數等于2，且左陪集為{{E|0}，{C6|0}}，并把它左乘K點的波矢群就可得石墨烯結構空間群.即q= g/gl=12/6=2，βσ={E，C6}(其中σ=1，2，…，q).

利用(9)式、(10)式、(13)式、(16)式、(17)式、(20)式可得在對稱點K，當CSCO-Ⅰ的本征值為0時，二維平面空間群P6mm的IR矩陣如下:

3 討論

本文所采用的量子力學中完備算符集的本征函數法，對于處理晶體對稱性相關的空間群的特性非常簡便.并且本文所計算的相對于對稱點K的二維平面空間群P6mm的IR基滿足正交歸一性.IR基所張開的空間的維數滿足qhv=(g/ gl)hv關系.二維平面空間群P6mm的IR矩陣也滿足(17)式.

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