用SAS軟件實現均勻設計定量資料的統計分析

胡良平，賈元杰，高輝

在試驗中，有時需要考察多個因素，且每個因素有多個水平，可以選用正交設計，如果用正交表安排試驗，試驗次數還是太多，可以應用均勻設計。均勻設計是用最少的試驗次數取得關于總體的盡可能充分的信息，它是只考慮試驗點在試驗范圍內均勻散布的一種試驗設計方法。該設計方法較相同規模的正交設計而言，大大降低了試驗次數。

1 正交設計與均勻設計基本特點的比較[1]

當試驗因素較多而每個因素又有較多的水平時，通常會采用正交設計。正交設計特點是在全部因素所構成的空間內其試驗點具有“均勻分散性”和“整齊可比性”。“均勻分散”可使所選取的少量試驗點均勻地散布在所考察的范圍內，各試驗點具有較好的代表性，以此減少試驗次數；“整齊可比性”可使試驗結果的分析來得方便，便于找出主要因素和次要因素及最佳水平組合（最優試驗條件）。但是，為了達到“整齊可比”的目的，試驗點的數目必然較多，試驗因素皆取同水平的情況下，通常其因素的水平組合數（即所選用的正交表的行數）至少為水平數的平方。且當試驗因素的個數和水平數都大于 5 時，試驗次數就會劇增。均勻設計可以克服正交設計的這個弱點。

均勻設計舍棄了正交設計中的整齊可比性，讓試驗點在其試驗空間范圍內充分地“均勻分散”。這樣每個試驗點將具有更好的代表性，而試驗點的數目可大幅度地減少，試驗次數（試驗點數 × 各試驗點上重復試驗次數）也就相應地大量減少。在最節省樣本量的均勻設計中，每個因素的每個水平只出現一次，若不做重復試驗，試驗次數與水平數相等。例如，一個 8 水平的試驗，正交設計至少需要 64 次試驗，而均勻設計只需要 8 次試驗，在科研經費不足的情況下均勻設計可以大大降低成本，達到一個較好的效果。均勻設計其試驗次數少，且因素的水平可以適當調整，故它在尋找最佳試驗條件、最佳配比等方面是比較有力的工具。

2 均勻設計表的使用

均勻設計與正交設計相似，也是通過數學方法設計出一套均勻設計表，供研究者選用。均勻設計表的代號為其中“U”表示均勻設計，“n”表示表的行數，即表示全部因素的 n 種水平組合，“q”表示每個因素有 q 個水平，“s”表示該表的列數。U 的右上角加“*”和不加“*”代表兩種不同的均勻設計表，通常加“*”的均勻設計表有更好的均勻性，但表 Un比能安排更多的因素。如表示此均勻設計表有 6 行（代表因素的 6 種水平組合），試驗中有 6 個因素，每個因素有 6 個水平；而表最多可以安排 4 個因素的試驗，即表最多只能安排 [s/2]+ 1，這里 [s/2] 表示不超過 s 的最大整數。故當因素數 s較大，且超過的使用范圍時，可使用 Un表。

2.1 均勻設計表的特點

①在同類均勻表中，行數最少的均勻表為因素的水平數；②均勻設計表任兩列組成的試驗方案一般并不等價，每一個均勻設計表必須有一個附加使用表；③當因素的水平數增加時，均勻表的行數按水平數的增加量增加。如當水平數從 7 水平增加到 8 水平時，均勻表的行數 n 從 7 增加到8 或從 14 增加到 16。

2.2 均勻設計表的選擇原則

①應根據要考察的因素個數和水平數選擇合適的均勻設計表；②當試驗中的因素個數少于均勻設計表中最多可安排的因素個數時，為確保不同因素水平的組合所對應的試驗點在空間分布均勻，每個均勻設計表都配有一個使用表供查用。

2.3 均勻設計表的使用要點[2]

2.4 均勻設計表的應用步驟[3]

3 均勻設計應用的注意事項[4-5]

均勻設計可考察的水平數較多，故利用均勻設計對較多的影響因素進行初篩，快速劃定考察范圍，再用正交設計或析因設計進行較為仔細地研究，可以達到較好的效果。運用均勻設計篩選最優試驗條件關鍵點在于指標的選擇。一般可選取比較重要的一、二項指標作為主要評價指標；水平數與因素數應有適當的比例，至少水平數大于因素數的 2 倍以上，才有利于正確使用回歸分析處理試驗資料。因為若水平數設計得不合理，比如，與因素數相等、甚至少于因素個數，此時，由均勻表所決定的試驗點在高維空間中顯得非常“稀疏”，據此建立的回歸方程是很不穩定的；重視回歸分析，選行數 n 稍大的均勻設計表，在已知實際背景時少用多項式，在采用多項式時盡量考慮二次的，盡可能避免使用三次或四次多項式擬合資料；當回歸方程完全擬合均勻設計定量資料時，可能不是好事，屬于“過擬合”，提示：有必要選擇行數較多的均勻表安排試驗并重做試驗。

4 如何用 SAS 軟件處理均勻設計一元定量資料

在三七的提取工藝中根據查找文獻及預試驗的結果選定試驗因素，選擇乙醇濃度 A，乙醇用量 B，回流時間 C，回流溫度 D，浸泡時間 E，5 個因素進行考察，以三七提取的收率作為考察的指標，將各因素考察范圍分為 11 個水平，數據見表 1。擬挑選出最優試驗條件。

表 1 三七提取工藝試驗因素水平

設計需求分析與計算的 SAS 實現：①研究者根據文獻或預試驗的結果選定 5 個試驗因素分別是“乙醇濃度 A，乙醇用量 B，回流時間 C，回流溫度 D，浸泡時間 E”，每個因素各有 11 個水平。如果選用正交設計至少需要112= 121 次，試驗次數太多，一般研究者很難承受。試驗次數最少的均勻設計只需 11 次試驗，可較好實現節約試驗經費和時間的目的。

②試驗共有 5 個因素，每個因素均有 11 個水平，根據均勻設計表可以選擇 U11(116)見表 2。

表 2 U11(116)均勻設計表

U11(116)的使用表

表 3 三七提取試驗均勻設計安排表 U11(115)

表 4 各變量全排列組合回歸分析 F 值情況

從以上結果可以看出變量個數為 9 時 F 值最大（F =92812.2），選取這個變量組合篩選出的自變量 x1、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11、x12 建立多重線性回歸方程。

⑤將篩選出的自變量進行回歸分析，建立回歸方程。SAS 程序如下：

data junyun; /*數據步*/input x1 x2 x3 x4 x5 y;x1=(x1-700)/50;x2=(x2-100)/10;x3=(x3-6)/1;x4=(x4-65)/5;x5=(x5-16)/2;x6=x1**2;x7=x2**2;x8=x3**2;x9=x4**2;x10=x5**2;x11=x1*x2;x12=x1*x3;x13=x1*x4;x14=x1*x5;x15=x2*x3;x16=x2*x4;x17=x2*x5;x18=x3*x4;x19=x3*x5;x20=x4*x5;cards;450 60 3 70 14 0.362 500 80 6 40 22 0.313 ods html; /*第 1 步*/proc reg data=junyun;model y= x1 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 / r p vif collin collinoint;run;proc princomp data=junyun out=pc2 prefix=z; /*第 2 步*/var x1 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12;run;proc reg data=pc2; /*第 3 步*/model y=z1-z9/ r p vif stb;run;quit;

550 100 9 65 8 0.630 600 120 1 90 16 0.690 650 140 4 60 24 0.585 700 50 7 85 10 0.595 750 70 10 55 18 0.456 800 90 2 80 26 0.655 850 110 5 50 12 0.399 900 130 8 75 20 0.685 950 150 11 45 6 0.460；run;ods html close;

數據步中 x1 ～ x5 的數量級相差較大，將這五個變量進行標準化變換。第 1 步是將篩選出的 9 個變量（含派生出的新變量，即交叉乘積項和平方項）進行回歸分析，并使用r、collin 和 collinoint 選項進行殘差分析及共線性診斷。這部分結果如下：

Analysis of variance

值得注意的是：當 F 值很大時，SAS 系統給出的 P 值是不正確的，正確的結果為：P < 0.0001

這是對回歸方程進行方差分析，其擬合效果較好（F =92812.2，P = 0.0025 < 0.05，R2= 1）。

Parameter estimates

這是多重線性回歸分析參數估計的結果。截距項及各變量的系數與 0 的差異都有統計學意義（P < 0.05）。由最后一列“方差膨脹因子”可看出，除 x5 與 x9 與其他自變量間不存在共線性外，其他自變量之間均存在嚴重的多重共線性。由 collin 和 collinoint 兩個選項產生的多重共線性診斷結果（篇幅很大，從略）與方差膨脹因子診斷結果基本一致。

Output statistics

這是對回歸方程作殘差分析的結果，沒有發現異常點。由于變量間存在嚴重的多重共線性，故第 3 步對 9 個自變量進行主成份分析。主要輸出結果如下：

因篇幅所限，相關系數矩陣的特征值、貢獻率、累積貢獻率和特征向量均從略。根據給出的特征向量可以寫出由標準化變量所表達的各主成份的關系式，可得到下式：

程序中的第 3 步將這 9 個主成份作為新自變量進行回歸分析，并輸出回歸方程的標準化回歸系數。主要輸出結果如下：

Analysis of variance

Parameter estimates

模型總體較好地擬合了數據（F = 92812.2，P = 0.0025 <0.05，R2= 1）。截距項及 z1 ～ z9 的系數與 0 的差異均有統計學意義。回歸方程如下：

將 z1 ～ z9 的表達式回代到上面回歸方程，得：

將上面回歸方程中標準化后的 X 還原為原始的 x，得：

將 5 個因素及其派生變量的各種水平取值組合代入回歸方程找出最佳試驗條件，程序太長這里不列出。結果是當x1 取 900，x2 取 50，x3 取 1，x4 取 40，x5 取 26 時，y收率達到最大為 74.193%。

回顧整個過程，得出的回歸方程很好地擬合了數據（F = 92812.2，P = 0.0025 < 0.05，R2= 1），且殘差分析的結果為因變量的值和預測值相差非常微小，幾乎可以說這個超平面穿過每一個試驗點（這在統計學上被稱為“過擬合”），但最終得到的這個結果可以作為定論嗎？答案是否定的。均勻設計的特點是因素多、水平多、試驗點少，滿足均勻分散性喪失了整齊可比性，僅僅選取了 11 個具有代表性的試驗點（方程中卻有 9 個變量），其結果十分不穩定。只要增加一個試驗點其最終結果就可能會發生很大改變，故最后結果不能代表所有變量在五維空間中的整體變化趨勢，要想使試驗結果達到穩定必須增加試驗點，并在各試驗點上進行足夠多次數的重復試驗，但這樣做必然使試驗次數成倍增加，喪失了均勻設計的初衷和意義。因此，均勻設計只能作為探索性分析的有效工具，得出的結果僅作為初步篩選出有意義的因素和交互作用項，為后續的深入研究奠定必要基礎，而不能作為整個試驗的定論。也就是說，當一個試驗有很多因素及水平時，我們可以先運用均勻設計找出對因變量影響較大的因素，縮小需考察的因素范圍和水平的個數，繼而再應用析因設計或正交設計，進一步考察因素的效應及其交互效應，這樣才能得到具有高度重現性的確定性結論，得出的最終結果才是有意義的（經得起時間和實踐的檢驗）。

[1] Fang KT, Ma CX. Orthogonal and uniform experimental design.Beijing: Science Press, 2001:35-39, 83-85. (in Chinese)方開泰, 馬長興. 正交與均勻試驗設計. 北京: 科學出版社, 2001:35-39, 83-85.

[2] Li YY, Hu CR. Experimental design and data processing. Beijing:Chemical Industry Press, 2005. (in Chinese)李云雁, 胡傳榮. 試驗設計與數據處理. 北京: 化學工業出版社,2005.

[3] Feng XL. Experimental designs methods in science research--Uniform design. Train Technol. 2004, 25(2):98-100. (in Chinese)馮新瀘. 科學研究中的試驗設計方法——均勻設計. 訓練與科技,2004, 25(2):98-100.

[4] Yuan Y, Wang Y, Wang XC. Key issues of uniform design in pharmaceutical research. Chin Hosp Pharm J, 2003, 23(7):440-441.(in Chinese)袁勇, 王陽, 王新春. 均勻設計法在藥物制劑研究中應注意的問題.中國醫院藥學雜志, 2003, 23(7):440-441.

[5] Guo DX, Qiu LX, Zhang MD. Uniform design method and it's application. Journal of Mathematical Medicine, 2005, 18(1):69-71. (in Chinese)郭東星, 仇麗霞, 張滿棟. 均勻設計方法及其應用. 數理醫藥雜志,2005, 18(1):69-71.