不確定參數Liu系統的自適應同步在保密通信中的應用

黨紅剛，何萬生，劉曉君

(天水師范學院 數學與統計學院，甘肅 天水 741001)

自從1990年 L.M.Pecora 和 T.L.Carroll［1］提出驅動——響應同步方法，線性和非線性反饋控制［2－3］、自適應控制［4］、模糊控制等多種不同方法都被成功地應用于混沌系統的控制與同步中。自適應控制方法由于其控制簡單，物理圖像明了，易于操作，使其在混沌同步的研究中占有非常重要的地位。劉崇新等于2004年提出了一個新混沌系統［5］，并研究了它的Lyapunov指數，Lyapunov維數及其吸引子的形成機制。文獻［6－10］研究了不確定Liu混沌系統的控制與同步。本文以Liu混沌系統為例，采用自適應控制方法實現混沌同步，把這種同步方案應用到保密通訊中，并用Matlab數值仿真證明這種方案的有效性。

1 Liu混沌系統的模型及其混沌特性

Liu系統如下:

其中，(x，y，z)T∈R3為系統的狀態變量，a，b，c，k，h 為控制參數;當選取參數 a=10，b=40，c=2.5，k=1，h=4 時，具有三個平衡點:s1=(0，0，0)，s2=(5，5，40)和 S3=(－5，－5，40)，系統的 Lyapunov指數為(1.64328，0，－14.142)。此時系統處于混沌狀態。

2 參數未知的自適應同步

混沌系統的最大特點就在于系統的演化對初始條件十分敏感。在未加控制的情況下對于兩個完全相同的Liu系統，若選取的初值不同，則兩個系統的軌道會迅速分開變得毫不相干，如果設計適當的控制器，就可以使兩個Liu系統從任何初始條件下出發都可以漸近的達到同步，設系統(1)為驅動系統，響應系統為:

其中(x1，y1，z1)T∈R3是響應系統狀態向量，a，b，c，k，h 是已知參數，(k1，h1)T是參數(k，h)T的估計，u=(u1，u2，u3)T是控制器。記狀態誤差變量為e1=x1－x，e2=y1－y，e3=z1－z，ek=k1－k，eh=h1－h。

設計的控制器為:

未知參數k，h自適應辨識結構為:

定理1 若選取控制器為(3)式，并且參數自適應辨識結構為(4)時，驅動系統(1)和響應系統(2)從任意初始值出發均可達到同步。

證明 (2)式－(1)式整理得誤差方程:

令Lyapunov函數為

3 混沌保密通信中的應用

混沌同步應用在保密通信中的基本思路是通信系統的發送端利用混沌信號作為載波，將有用信號隱藏在混沌信號之中，而在接收端利用混沌同步恢復出傳輸的信號，從而實現傳輸信號從發送端加密到接收端解密的全過程。實現混沌保密通信的關鍵是發送系統與接收系統之間混沌同步。

下面以Liu混沌系統為例，基于混沌掩蓋方法，用混沌信號與有用信號相加的方式，驗證在(3)控制器和(4)參數識別對于響應系統(1)和驅動系統(2)在通信系統中的有效性。

設i(t)為有用信號，混合發送信號為s(t)=i(t)+x(t)，混合接收信號為˙s(t)=+x1(t)。建立如下發送系統和接收系統:

采用(3)式控制器和(4)式參數識別對上述系統進行驗證。

4 數值仿真

針對驅動系統(1)和響應系統(2)構造的非線性自適應同步方案，令系統參數值為(a，b，c，k，h)=(10，40，2.5，1，4)，驅動系統向量初值為(x，y，z)=(2，2，2)，響應系統向量初值為(x1，y1，z1)=(4，4，6)，未知參數初值為(k1，h1)=(3，1)，i(t)=sin(t)，采用步長為0.01的四階龍格－庫塔函數進行仿真，圖1為 e1，e2，e3的誤差曲線圖，圖2為 k1，h1的辨識曲線圖，控制器成功的實現了系統狀態同步和系統不確定參數的識別。對于有用信號i(t)=sin(t)，由圖3－圖6可以看出，經過一段短暫的時間后，接收系統有效地恢復了傳送的有用信號。

圖1 非線性參數未知的同步誤差曲線圖

圖2 參數未知的參數辨識曲線圖

圖3 輸入的有用信號

圖4 輸出的有用信號

圖5 混合信號

圖6 輸入和輸出的信號誤差

5 結論

本文針對保密通信的應用，以Liu混沌系統設計了一套自適應混沌同步方法，將傳輸信號調制到驅動系統中形成混沌信號，通過信道傳輸到響應系統，在響應系統中通過設計合適的控制器，并在驅動系統的k1，h1參數未知的情況下，可以使兩個系統在初始值不同的情況下達到混沌同步，從而將傳輸信號成功解密，實現保密通信。通過實例及數值仿真表明，該方法運用廣泛、方案設計簡單，收斂速度快，同步時間短。

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