隨機多孔介質中的不混溶驅替

王

（武漢紡織大學 數學與計算機學院，湖北 武漢 430073）

隨機多孔介質中的不混溶驅替

（武漢紡織大學 數學與計算機學院，湖北 武漢 430073）

對隨機多孔介質中粘滯指進的分形性質進行研究，建立正方網格來模擬多孔介質中潤濕流體的侵入和流動，運用決定論模型進行研究。結果表明，多孔介質的幾何拓撲強烈地影響了粘滯指進的結構和驅替過程。粘滯指進圖像掃及面積隨著迭代次數n的增加而增大。增加迭代次數n和網格尺寸，會導致驅掃效率E的增大。

多孔介質；逾滲集團；粘滯指進；驅掃效率

隨機多孔介質中流體的輸運在許多工程領域都有重要的應用。例如土壤中的有害廢物的擴散，石油工程中油的移動，色譜的分離和催化過程等。關于粘滯指進問題的第一個理論分析是由 Saffman 和 Taylor[1]針對Hele-Shaw[2]裝置進行的。均勻網格中的兩相流已有大量研究結果[3]。本文把多孔介質用正方網格中逾滲集團表示，運用決定論模型[3]對隨機多孔介質中的粘滯指進分形問題進行研究。

1 模擬方法

我們視多孔介質為正方網格，格點表示孔隙，喉管表示通道，稱為鍵。如圖1所示，當格點取值為0時(座(i+1,j))，該點不連通，此時與之相連的所有的鍵均完全封閉(圖1中與座(i,j)相連的右鍵，或圖2中的a或f鍵)，即導流率g(i,j),(i-1,j)=0；當格點取值為1時(圖1中的座(i,j),(i-1,j),(i,j-1)和(i,j+1))，除其近鄰為0的座外，與之相連的所有的鍵均完全導通，g(i,j),(i-1,j)≠0等等。

對于后一類鍵又有三種情況：已完全被驅替流體所占據(圖1中與座(i,j)相連的左鍵，或圖2中的d鍵)，該鍵兩端點的壓力p均為1；已部分被驅體流體所占據(圖1中與座(i,j)相連的上鍵，或圖2中的c鍵)，該鍵一端點的壓力p為1，另一端點的壓力p小于1；完全沒有被驅體流體所占據(圖1中與座(i,j)相連的下鍵，或圖2中的b鍵)，該鍵上完全充滿被驅替流體，且一端點的壓力p為1，另一端點的壓力p小于1。還有一種鍵的狀態是，該鍵本身導通，但其兩端的格點的壓力均小于1，即驅替流體尚未流到這些格點(或圖2中的e鍵)。

圖1 網格中流體流動狀態示意圖

圖2 網格中座鍵狀態示意圖

在201×201正方網格中，給定一個逾滲概率P，若P≥0.59，則存在一個跨越集團；當P=1時，格點的占有率為100%，對于不同的P對應于不同連通性的孔隙介質。對于不屬于跨越集團的格點和集團，它對應沉積巖的不連通區域。我們的模擬僅在跨越集團中進行。為此，我們建立孔隙介質和兩相流的模型如下：不同逾滲概率P的逾滲集團對應不同的孔隙介質，視格點為孔隙，鍵為喉管，且喉管的半徑是非均勻分布的：r→(r-rmin)/(rmax-rmin)，rmin和rmax分別是喉管半徑的最小和最大值。在參考文獻[4,5,6]曾運用過類似的模型。

因此，對于任意一個喉管i，其半徑ri在0-1之間。例如圖3(a)是一個5×5的正方網格，假設網格中心為流體注入點。驅替規則如下：每一步，依照逐次超松弛技術只有一個喉管充滿驅替流體與被驅替流體。圖 3(b)顯示了圖 3(a)第一次驅替的過程。假設當驅替流體到達逾滲集團的邊界時凝集。為了模擬凝集的破壞性，我們假設每個被注入流體的喉管的尺寸隨著下面的規則增加[7]: ri→ri+∈(1-ri)，其中∈表示取0-1之間的隨機數。這樣做使得ri(t+1)總是在[ri(t), 1]之間變化。在某種意義上也就是說，喉管的半徑隨著驅替流體凝集的密度而變化。

例如圖 3(c)表明了 3(b)驅替后被破壞的多孔介質。充滿凝集流體的喉管半徑遵循下面的公式ri→ri+∈(1-ri)，并且介質完全干縮，這時候新的驅替流體進入。依照對r的一般假設，ri(t)的最大值是1，跟rmax的取值無關。比如，如果喉管的半徑為最大值rmax，那么經過凝集破壞后的半徑增加到rmax+ ε (ε ＞ 0)。這時，r→[(rmax+ε )-rmin)]/[ (rmax+ε )-rmin)。我們研究當P從0.6到1變化時201×201網格中的逾滲，迭代次數直到n=20。

圖3 驅替凝集過程示意圖

由Poiseuille定律，通過兩個相鄰格點i，j之間鍵中的流體流量為

我們采用逐次超松弛技術從方程(1)和(2)中解出壓力場

這里，超松弛系數ω為1.66。邊界條件為：在注入點p = 1，在網格外周界p = 0。在確定了壓力之后，驅替流體的前鋒移動一段位移

在一個界面相鄰的格點，我們選擇各鍵中驅替前沿最先到達下一個格點所需時間（即各鍵驅替時間中最短的那一個）為時間步長Δt。然后，按照相應的時間步長Δt移動兩相流的交界面并引入新的交界面，計算壓力場，重復整個過程，直到到達外部邊界為止。這種方法的主要優點是我們可以對驅替過程進行研究，也被稱為決定論模型[8]。

2 多孔介質的粘滯指進生長

圖4表明了在5種迭代次數下（n=1,2,5,10,20），逾滲集團中粘滯指進的圖像（P = 0.8，M = 10）。n = 1時的粘滯指進圖像已經在參考文獻[9]中研究過了。當n ＞ 1時，驅替流體掃及范圍隨著參數n的增加而增大，而當n ≥ 10時，粘滯指進圖像的形狀幾乎沒有改變了。而且，改變迭代次數不會影響逾滲集團中粘滯指進的各向異性。這個結果說明多孔介質的幾何拓撲結構很強地影響了粘滯指進的形狀和結構。

圖4 逾滲集團（201×201網格）中粘滯指進圖像

圖5 分形維數D與逾滲概率P的函數關系圖

為了研究多孔介質的幾何拓撲結構對粘滯指進圖像的形狀和結構的影響，本文得到了粘滯比 M=10，不同逾滲概率P及不同迭代參數n下的粘滯指進圖像，并計算出其分形維數D。首先測量不同網格L×L ，不同迭代次數n，以及不同概率P下粘滯指進圖像中驅替流體掃及面積S，假定[4]: S ～ LD。在圖5顯示了粘滯指進圖像的分形維數D與逾滲概率P之間的關系。當P=1時，無論迭代幾次，分形維數D=2。也就是說，在二維正方網格中粘滯指進圖像的結構依賴于有限的粘滯比M。當n=10及n=20時，粘滯指進圖像的分形維數D和P無關，也就是說，當n ≥ 10時，粘滯指進的結構是穩定的。由圖像可以看出，分形維數D隨著P的增加而增加，與迭代次數n無關。這表明，多孔介質的幾何拓撲結構對粘滯指進有很大影響。

3 驅掃效率

研究多孔介質粘滯指進現象的一個特別有實用價值的方面就是驅掃效率E，它是預測驅替性能的一個重要參數。在現場驅替過程中，體積驅掃效率定義為：E=驅掃體積/總體積。由于現在我們研究的是隨機多孔介質中的粘滯指進，因此，此時的效率應為面積驅掃效率，設掃及面積為Ae掃及區域內多孔介質的面積為As，于是有[8]

式中L為網格尺寸。該式表明分維D能夠被合理地作為評價驅掃效率和石油儲量的有用參數。

圖6顯示了驅掃效率E與網格尺寸L之間的函數關系。由圖可以看出增加迭代次數n和網格尺寸L，驅掃效率E隨之減小，當L達到最大值時E有最小值。圖中每條E～L曲線都存在有兩個線性區域，分別表示粘滯指進的凝集區域和驅替區域[10]。

圖6 驅掃效率E與網格尺寸L的函數關系圖

4 結論

本文中，我們把隨機多孔介質看做是正方網格，借助于決定論方法在喉管半徑為非均勻分布的假定下，模擬了粘滯指進在逾滲集團中的一些新的性質。逾滲集團中粘滯指進掃及面積的大小隨著迭代次數n的增加而增大。當n ≥ 10時，粘滯指進圖像幾乎不再變化。增加逾滲概率P導致分形維數D的增加，與迭代次數n無關。這表明多孔介質的幾何拓撲結構嚴重影響了粘滯指進。驅掃效率E隨著迭代次數n和網格尺寸L的增加而減小，當網格尺寸L取最大值時，E達到最小。并且在網格尺寸L的整個變化過程中，E～L存在兩種線性關系，分別表示粘滯指進在逾滲集團中的凝集區域和驅替區域。

[1] P. G. Saffman, G. I. Taylor. The Penetration of A Fluid into A Porous Medium or Hele-show Cell Containing A More Visous Fluid[J].Proc. Royal Society A, 1958, 245: 312-329.

[2] H. S. Hele-Show. The Flow of Water[J]. Nature, 1898, 58: 34-36.

[3] M. Sahimi. Flow Phenomena in Rocks[J]. Reviews of Msdern Physics, 1993,65: 1393-1534.

[4] E. Salmon, M. Ausloos, N. Vandewalle. Aging of Prous Mdia Fllowing Fuid Ivasion, Feezing and Tawing[J]. Physical Review E,1997, 55: R6348-52.

[5] K. T. Tallakstad, H. A. Knudsen, T. Ramstad. Steady-State Two-Phase Flow in Porous Media: Statistics and Transport Properties [J].Physical Review Letter, 2009, 102: 074502.

[6] Ch. Cottin, H. Bodiguel, A. Colin. Drainage in two-dimensional porous media: From capillary fingering to viscous flow [J]. Physical Review E, 2010, 82: 046315.

[7] J. P. Tian, K. L. Yao. Ageing of Random Porouse Media Following Fluid Deterministic Displacement, Freeing, Thawing[J]. The European Physical Journal B, 2000, 14:543-549.

[8] H. Siddiqui, M. Sahimi. Computer Simulations of Miscible Displacement Processes in Disordered Porous Media[J]. Chemical Engineering Science, 1990, 45: 163-182.

[9] J. P. Tian, K. L. Yao. Computer Simulations of Two-phase Flow with Surface Tension in The Percolation Cluster[J]. Physics Letters A, 1999, 251: 259-261.

[10] H. Boularot, G. Albinet. Frozen and Active Regions in Diffusion Limited Aggregation Clusters[J]. Physical Review E, 1996, 53:5106-5110.

The Immiscible Displacement in Random Porous Media

WANG Man
(College of Mathematics and Computer Science, Wuhan Textile University, Wuhan Hubei 430073, China)

In this paper, the fractal nature of Viscous fingeringin (VF) random porous media has been studied. The fluid transport is based on the deterministic method. The result shows that the topology and the geometry of the porous media have a strong effect on displacement processes. The cluster size of viscous fingering pattern in percolation cluster increases with the increase of iteration parameter n. When iteration parameter n ≥ 10, VF pattern does not change with n. The distribution of velocities normal to the interface of VF in percolation cluster is also studied. The sweep efficiency E increases along with the increasing of iteration parameter n and decreases with the network size L.

Porous Media; Percolation Cluster; Viscous Fingering; Sweep Efficiency

O189.11

A

1009－5160(2011)06－0090－05

王嫚（1986-），女，碩士研究生，研究方向：無序空間中的分形生長.