泰勒公式在高階導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)方面的應(yīng)用

趙中，張秀全

（黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000）

泰勒公式在高階導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)方面的應(yīng)用

趙中，張秀全

（黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000）

泰勒公式在數(shù)學(xué)分析中具有重要地位．討論了泰勒公式在高階導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)求解方面的應(yīng)用，拓寬了泰勒公式的應(yīng)用范圍．

泰勒公式；高階導(dǎo)數(shù)；高階偏導(dǎo)數(shù)

泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容，在微積分的各個方面有著廣泛的應(yīng)用．現(xiàn)有文獻(xiàn)對一元函數(shù)的泰勒公式在近似計算、誤差分析、函數(shù)極限的求解、函數(shù)單調(diào)性的判斷和微分方程的求解等方面的討論較多，但很少涉及一元函數(shù)的泰勒公式在高階導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用以及二元函數(shù)泰勒公式的應(yīng)用．本文通過典型例題，討論泰勒公式在高階導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)求解方面的應(yīng)用．

1 主要定理

定理1 若函數(shù)f( x)在點x0存在直到n階的導(dǎo)數(shù)，則有

定理3 設(shè)函數(shù)f( x， y)具有n+1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若用某種方法得到展開式

2 泰勒公式的應(yīng)用

2.1 一元函數(shù)的泰勒公式在高階導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

2.1.1 求高階導(dǎo)數(shù)

2.1.2 證明與高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的命題

當(dāng)問題涉及函數(shù)的二階或二階以上導(dǎo)數(shù)時，可使用泰勒公式將各階導(dǎo)數(shù)有機(jī)地聯(lián)系起來，再根據(jù)題意對泰勒展開式進(jìn)行處理，從而達(dá)到解決問題的目的．使用該法的關(guān)鍵是寫出函數(shù)在某一點的泰勒公式．

2.2 二元函數(shù)泰勒公式在高階偏導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

與f(x)為凸函數(shù)矛盾. 故此黑賽矩陣在D上為半正定的.

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析[M]．3版．北京：高等教育出版社，2001．

[2] 陳守信．?dāng)?shù)學(xué)分析選講[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009．

[3] 吉米多維奇．?dāng)?shù)學(xué)分析習(xí)題集[M]．北京：高等教育出版社，1984．

[4] 陳麗．泰勒公式的應(yīng)用[J]．廊坊師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，9(2)：20―23．

[5] 裴禮文．?dāng)?shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]．北京：高等教育出版社，2006．

O172

A

1006-5261(2011)02-0081-02

2010-10-28

趙中（1975―），男，河南駐馬店人，講師，博士．

〔責(zé)任編輯 張繼金〕