數學軟件Mathematica在積分計算中的應用

歐 鵬 王紹恒 高成政 劉雪蓮 吳夢蝶

（重慶三峽學院數學與統計學院，重慶萬州，404100）

借助數學軟件輔助教學多年以來，[1]收到了較好的效果.積分是高等數學系列課程的重要組成部分，某些題目的積分計算量較大，過程繁瑣，甚至無法用學過的數學方法求解.為使學生借助Mathematica軟件快速、準確地解決上述問題，筆者結合實驗與學習經歷，通過借助Mathematica軟件計算積分的典型例子，總結了幾種常見方法，供讀者參考.

1 不定積分

Mathematica軟件的命令格式：Integrate[f[x]，x]，運行的結果就是f[x]的原函數F[x]，但不帶任意常數.

1.1 初等函數的不定積分

命令Integrate與命令D表示一對互逆運算，即命令D[f [x]，x]表示函數f [x]對x求導.

含參數不定積分：命令Integrate中，若被積函數含有積分變量以外的變量，運行時均獨立于積分變量而把此類變量當做常量.

由此可見，正確指定積分變量的重要性.

積分變量可以為任何表達式.

（其中f( x)可以是任意函數表達式）

大多數情況下，積分可以純粹的根據諸如指數函數、對數函數和三角函數等基本初等函數進行運算.事實上，如果給出一個僅含這種初等函數的積分，那么Integrate的重要能力之一是如果該積分能用初等函數表示，那么Integrate總能成功計算出結果.

1.2 特殊函數的不定積分

有些函數的不定積分不能用初等函數表示，這里Mathematica軟件通常能夠用特殊內部函數表示.

其中LogIntegral[x]為系統內部函數.

有時候為了某種特殊需要，需修改命令Integrate的參數，例如下面的積分不能用初等函數來表示.

如果想加入自己定義的積分規則，需要把函數Integrate的保護屬性去掉，即：

運行Unprotect[Integrate]得

{Integrate}

定義自己的積分規則：例如定義函數

sin(cos(a+ bx))的積分為 [,]/ JSinCos a x b.運行Integrate[Sin[Cos[a_.+b_.x_]]，x_]：=JSinCos[a，x]/b之后再運行

退出系統后，對Integrate的修改自動還原.

1.3 無法計算的不定積分

如果不定積分既不能用初等函數表示，也無法用特殊函數表示，Mathematica直接以不定積分形式輸出.

2 定積分

2.1 初等函數與定積分

對于簡單的定積分，只需按照命令格式輸入相應的被積函數，積分變量及積分限即可進行計算.

計算定積分時，也可首先通過先求不定積分，然后計算相應積分限處的值的辦法，但值得注意的是有些函數的不定積分不能用初等函數表示，但其定積分仍可以計算.

運行Integrate[Cos[Sin[x]]，x]

Integrate[Cos[Sin[x]]，{x，0，2Pi}]

得2 BesselJ[0，1].

與不定積分一樣，在計算定積分的時候，積分變量也可以為任何表達式.對于那些積分變量以外的變量均當作常量處理.

2.2 特殊函數與定積分

在計算定積分時，有時求出來的定積分結果里面含有特殊函數，這些函數是Mathematica內部函數，我們可以對求出的結果取近似值得出近似解.如對例9中的定積分.

運行Integrate[Cos[Sin[x]]，{x，0，2Pi}]得2 BesselJ[0，1]再運行N[%]得4.80788也可以直接運行NIntegrate[Cos[Sin[x]]，{x，0，2Pi}]得到同樣結果.

計算定積分時，還可對命令Integrate進行設置參數，通過這些參數設置，可以更加靈活地計算定積分.在我們常見的函數中，參數GenerateConditions以及參數Assumpions使用較多.對于參數GenerateConditions的使用，如設置GenerateConditions-＞False，則 Mathematica會把被積函數中的參數當作最普通的值，不考慮其特殊情況.

例11：運行

Integrate[x^n，{x，0，1}，GenerateConditions-＞ False得1/n+1.不加參數GenerateConditions-＞False的計算結果參看例17.

2.3 數值積分的計算

在Mathematica中，當積分算不出準確值時，我們可以通過NIntegrate[f[x]，{x，a，b}]求近似值.而且對于命令 Integrate能夠計算的，NIntegrate也能計算；有些函數不能用 Integrate計算的，用函數NIntegrate還能計算.

此類定積分用人工計算比較復雜，但借助函數Integrate計算較容易.

運行

如果希望得到近似數值解，運行：

NIntegrate[x*Exp[x]Sin[x]，{x，0，1}]得0.643678

對于NIntegrate命令的一個重要的作用是能處理被積函數無界的函數，函數NIntegrate在積分區間內自動檢查被積函數有無瑕點，因此對無界函數仍可直接用 NIntegrate 命令計算.NIntegrate[f，{x，xmin，xmax}]會從xmin到xmax積分f，在每個點檢查其奇異性.

由于x=0是瑕點，直接用函數NIntegrate將給出出錯信息.

如果在5.0版本下運行NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]]，{x，-1，1}]將輸出

該提示表明x=0為被積函數的瑕點.我們只要加入0作為中間點，就可以計算其數值解了.

運行NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]]，{x，-1，0，1}]得4.

在7.0以上版本下運行

NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]]，{x，-1，1}]

可以直接得出結果4.

除此之外，數值積分不但可以求近似解，而且還可以設置參數WorkingPrecision的值控制輸出結果的精度.

運行NIntegrate[Exp[-x^5]，{x，-1，0，1}，WorkingPrecision-＞20]得

2.094968171321203348 4.

該命令等價于

N[Integrate[Exp[-x^5]，{x，-1，0，1}]，20].

NIntegrate利用自適應算法計算積分的近似值，它對積分區間進行分割，直到達到指定的精確度為止.

2.4 廣義積分

無窮區間上的廣義積分的計算仍然可行.

如果廣義積分發散，Mathematica就給出一個提示后原樣輸出.

運行

Integrate[1/x^(1/2)，{x，1，Infinity}]輸出提示：

如果廣義積分的斂散性與某個符號的取值有關，Mathematica也能給出在不同情況下的積分結果.

一般地，我們采用分別討論a與p的取值，去判斷積分收斂或者發散，而利用 Mathematica求解上述廣義積分：運行Integrate[1/x^p，{x，a，Infinity}]得

無界函數的廣義積分有時要把間斷點加入才能計算.

類似地，如果b為瑕點有：

如果c(a＜c＜b)為瑕點時：

2.5 重積分的計算

對于重積分的計算，在Mathematica中，處理方式與定積分相似，只是在處理多個變量積分時，需要給出它們各自的取值范圍.

與我們在數學上處理積分時原則一樣，Mathematica先對y積分時，積分限可以為x的函數.同時，多重積分限也可以為任何表達式.

運行Integrate[x^2+y^2，{x，a，b}，{y，x，x+1}]得

2.6 重積分的可讀性計算

運用Integrate求解重積分的確方便快捷.但不足之處是沒有體現積分過程.那么運用Mathematica求解積分，到底能不能將其過程展現出來呢？我們的答案是肯定的.只是在求解過程中，要運用到更多的參數選項.其命令格式相對較復雜.

可讀性計算程序如下：

Clear[x，y];

f[x_，y_]：=x^2+4y^2+1；Print[“f(x，y)=”，f[x，y]]；

a= -1；b=1；c=-Sqrt[1-x^2]；d=Sqrt[1-x^2]；

If[NumberQ[a]&&NumberQ[b]， g[x_]：=Integrate[f[x，y]，{y，c，d}]；Print[g[x]]；Integrate[g[x]，{x，a，b}]，h[y_]：=Integrate[f[x，y]，{x，a，b}];Print[h[y]]；Integrate[h[y]，{y，c，d}]]

求解過程及結果為：

[1]王紹恒.利用Mathematica與Lingo求解優化問題之比較[J].重慶三峽學院學報，2007（3）.

[2]嘉木工作室編.Mathematica應用實例教程[M].北京：機械工程出版社，2002.

[3][美]D.尤金.Mathematica使用指南[M].鄧建松，彭冉冉，譯.北京：科學出版社，2002.

[4]郝艷莉，張濱燕.數學軟件 Mathematica在高等數學教學中的應用[J].南通航運職業技術學院學報，2009（3）.