一類線性不確定變時滯系統的滑模控制

摘要：考慮一類變時滯系統的滑模控制問題，其中被控系統狀態存在多個變時滯并帶有不確定性。利用Lyapunov方法和Shur補引理，得到滑動模態穩定的充分條件。設計了一類簡單的變結構控制器，使系統在有限時間內可以到達滑模面并保持在滑模面上運動。仿真結果驗證了本文結論的有效性。

關鍵詞：線性系統;變時滯;滑模控制

Slide mode control for a class of uncertain time-delay system

Tong Di， Jing Li

(Shenyang Normal University， College of Mathematics and System Science， Liaoning， Shenyang 110034)

Abstract: The slide mode control problem is considered for a class of variable time-delay system. There exist many variable time-delay and uncertainties. Using the Lyapunov method and the Shur lemma， the stability of the slide mode is demonstrated. A variable structure controller more easy and efficient is designed， which makes the system’s state trajectories can be ensured to lie in the chosen slide mode surface at initial time and keep on theslide mode surface. Simulation results demonstrate the effectiveness of the presented method.

Keywords: Linear system; Variable time-delay; Slide mode control

在許多實際控制系統中，不可避免地存在時滯特性，時滯的存在會導致控制系統性能變壞，甚至不穩定。近年來，關于時滯系統的研究已成為控制理論中備受關注的課題之一[1~3]。滑模控制以其對內部參數攝動和外部干擾不敏感的特性而成為不確定系統綜合和分析的有效方法，特別是近年來關于時滯系統的變結構控制問題的研究，并取得了許多研究成果。張清華等[4]針對具有有界不確定系數和未知常時滯的線性系統，選取切換函數作為切換流形，設計了結構簡單且利于實現的控制器；蔡國平等[5]采用趨近律方法設計控制律，給出了全時滯系統的變結構設計方法；卜春霞等[6]在此基礎上，利用Riccati方程和矩陣不等式方法給出了帶擾動量和不確定擾動量的變時滯系統控制律。本文在此基礎上，研究了狀態存在多個變時滯的不確定系統的滑模控制問題，設計了相應的變結構控制器，并通過仿真驗證了文章結論的有效性。

1 問題描述

考慮如下形式的時滯不確定系統：

（1）

其中： ，為狀態變量；是常矩陣； 為列滿秩控制矩陣； 為控制變量；對于給定的 為未知變時滯，且 ，為內部參數的擾動。

假設1： 滿足匹配條件，即 且 。

引理1：對一個給定的常矩陣， ，下面的不等式

對任意的正定常矩陣 成立。

2 滑模面的設計與分析

選取切換函數為

（2）

當系統（1）到達滑模面時，有

與

由假設1，（1）式可轉化為

（3）

對（3）式做如下變換

或

其中和 皆為單位矩陣， 和 。若 矩陣奇異，則需對（3）進行調整，使 矩陣非奇異。則（3）式可變換為

（4）

其中

對（2）、（4）式進行分塊，可得

（5）

（6）

由（5）、（6）可得滑動模態為

(7)

其中 ，

下面給出滑動模態漸近穩定的一個充分條件。

定理1：若存在正定對稱矩陣 ， ，使得下列不等式

(8)

成立，則變時滯系統（7）是漸近穩定的。

證明：取Lyapunov函數為

沿滑模（7）對V求導，得

（9）

由引理1，知

代入（9）式，化簡可得

（10）

由Schur補定理可知，（8）式成立時，系統（7）是變時滯穩定的。

由于（8）式不能用LMI工具箱求解，故我們在公式（8）兩邊分別左乘，右乘 ，并取 ，于是 。記 ，由Schur補定理得到下式，這是線性矩陣不等式可以求解。

(11)

3 控制器設計

選取控制

（12）

其中 且， ， 且 ，

下面檢驗滑動模到達的條件，對于

有

這說明系統（1）在控制（12）作用下在有限時間內可以到達滑模面。

4 數值例子

考慮不確定變時滯系統（1），其參數分別為

由式（11）可求出 則

因此，切換函數系數向量可取為

切換函數為則標稱系統漸近穩定。

計算機仿真結果如圖所示：

圖一：閉環系統狀態軌跡

圖二：控制狀態軌跡

5 結束語

本文對一類具有不確定項的變時滯系統的變結構控制方法進行了研究，選取了一類控制器，并通過算例驗證了文中所提方法的有效性。

參考文獻：

[1]Ji Xiang ，HongYe Su， Jian Chu ， Ke Qing Zhang.LMI Approach to Robust Delay Dependent/Independent Sliding Mode Control of Uncertain Time-delay Systems.[J]Zhejiang University.2003，2266-2271.

[2]Hailong Xing ，C.C. Gao ，Donghai Li.Sliding mode variable structure control for parameter uncertain stochastic systems with time-varying delay[J]Journal of Mathematical Analysis and Spplications.355(2009)689-699.

[3]Hazen N. Nounou and Magdi S. Mahmoud. Variable structure adaptive control for a class of continuous time-delay systems.[J]IMA Journal of Mathematical Control and Information(2006)23，225-235.

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[5]蔡國平，黃金枝.全時滯控制系統的變結構控制[J]控制理論與應用.2002，19（2）：247-248.

[6]卜春霞，張應奇，毛北行.變時滯控制系統的變結構控制[J]鄭州大學學報.2003，35（4）：23-26.

[7]俞立.魯棒控制—線性矩陣不等式處理方法[M]北京：清華大學出版社，2002.

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