時滯不確定Lurie系統的魯棒絕對穩定性準則

摘要：研究了一類具有時變時滯的范數有界結構不確定性Lurie控制系統的魯棒絕對穩定性問題。利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法， 分別給出了系統在無限扇形及有限扇形角內絕對穩定的時滯相關充分條件，所給的判定條件是線性矩陣不等式(LMI)形式的，可以很方便地運用Matlab工具箱求解。兩個數值實例表明，本文所給條件是有效及可行的。

關鍵詞：Lurie控制系統；時變時滯；不確定參數；絕對穩定；線性矩陣不等式(LMI)

中圖分類號：TP273 文獻標識碼：A

Criteria of Robust Absolute Stability for Time-Delay

Uncertain Lurie Systems

WANG Yanqing，WANG Zaihua

（Institute of Sciences，PLA univ.of Sci.Tech， Nanjing，211101，China）

Abstract: The problem of robust absolute stability for time-varying delay Lurie systems with structured uncertainty is investigated. Using Lyapunov-Krasovskii function method， two delay-dependent criterions forabsolute stability of systems in infinite sector and finite sector is respectively given. The proposed condition is in terms of a linear matrix inequality(LMI) which can be easily solved by Matlab toolbox.Two illustrative example shows that the condition obtained in this paper is effective and feasible.

Key words: lurie control systems; time-varying delay; uncertain parameter; absolute stability; linear Matrix Inequality(LMI)

0 引言

Lurie型控制系統是一類非常重要的非線性系統，許多實際系統都可以轉化為Lurie型控制系統.近年來，此類控制系統的魯棒穩定性研究也得到了國內外學者的重視，獲得了許多有價值的研究成果.其中，文[[2]考慮了一類具有結構不確定參數的范數有界的Lurie控制系統絕對穩定的充分條件，但沒有考慮時滯問題.文[3]給出具有多個時滯的Lurie直接控制系統和Lurie間接控制系統的時滯無關絕對穩定性條件.文[4]雖然結論是時滯相關的， 但要求時滯為非負有界函數， 而且得到的時滯界很小，在實際控制中很難應用，并且文中考慮的示例的系統絕對穩定性是時滯無關的。文獻[5]通過構造特殊的Lyapunov函數，利用不等式得到時滯相關的絕對穩定性條件，較大地推廣了文獻[4]中示例的結論.

本文利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法，并結合線性矩陣不等式(LMI)的相關推導技巧， 對一類具有范數有界時變時滯不確定性的Lurie型控制系統魯棒絕對穩定性進行討論， 給出其魯棒絕對穩定性的判別充分條件，實際上是對文獻[2]的直接推廣，并且所得結果以LMI的形式給出，并給出算例驗證所得判別條件的有效性.

對于一般的Lurie控制系統

或 或

其中

該系統的絕對穩定性定義如下:

定義1若對任意 或 或 ，Lurie控制系統是全局漸近穩定的，則稱此系統是絕對穩定的.

為了后文討論的方便，引入如下引理：

引理1[1].對具有適當維數的任意矩陣 ，對所有滿足 的矩陣 ，矩陣不等式

的必要充分條件是對任意的常數 ，都有下述矩陣不等式成立

．

引理2（Schur補引理）對給定的對稱矩陣 ，其中 是 維的， 以下三個條件是等價的: （a）

（b） ，

（c） ，

1 魯棒絕對穩定性分析

考慮如下具有不確定參數的時滯Lurie系統

(1)

式中 為狀態變量，為有界時滯且滿足 ， 為相應維數的實常數矩陣， 為時變不確定矩陣，且具有如下形式

(2)

其中 為具有適當維數的實常數矩陣，并且對任意的 ， 都滿足

(3)

定理1：如果存在適當的正數 ， 及適當的對稱正定矩陣 和適當維數的矩陣 使如下線性矩陣不等式(4)成立，則不確定時滯Lurie系統(1)是魯棒絕對穩定性的.

證明: 選取Lyapunov函數

其中 為對稱正定矩陣， 為兩正實數，

則Lyapunov函數沿系統(1)的導數為

(4)

其中

則的充分條件是 ，而

+

其中

由引理1，當且僅當存在實數 ，使得

即+

再由引理2，上述不等式成立當且僅當

即 LMI(4)成立.

推論1: 若所討論的系統(1)中不含有不確定性矩陣，即 ，則定理1中的LMI(4)成為

(5)

此LMI存在解 是相應的Lurie控制系統魯棒絕對穩定的充分條件.

定理2：假設系統(1)中矩陣 是穩定的，且 .若存在正定對稱矩陣 及正數 滿足以下LMI

(6)

則不確定Lurie控制系統(1)是魯棒絕對穩定的.

證明: 在定理1的證明中，在 中加、減項

可類似地推得不等式(6).

2 算例驗證

設在系統(1)中，系統矩陣為

解LMI(5)得:

故此時系統(1)是絕對穩定的.

又若在系統(1)中，設 且

由LMI(4)解得:

故此時不確定系統(1)是魯棒絕對穩定的.

由此算例可知文中給出的判別方法是有效的，且利用Matlab易于求解.

3 結論

構造一個適當的Lyapunov-Krasovskii泛函，利用線性矩陣不等式得到了一類具有結構不確定參數的不確定時滯Lurie控制系統絕對穩定的充分條件，且所得充分條件以LMI的形式給出，并用適當的算例加以驗證，說明本文的結果是有效的，且是易于驗證的，因為可以利用Matlab工具箱來求解，避免了許多繁瑣的計算.

參考文獻：

[1]Wu. M， He Y， She J H. New delay-dependent stability criteria and stabilizing method for neutral systems. IEEE Trans. Automat Contr[J]， 2004， 49(12): 2266-2271.

[2]秦克林，楊金桀，陳東顏. 一類不確定性Lurie控制系統的魯棒絕對穩定判據. 哈爾濱師范大學自然科學學報[J]，2009，25(3):1-4.

[3]王天成.時變時滯控制系統的絕對穩定性.控制工程[J]，2006，13(3):215-217.

[4]Yang B，Chen M Y. Delay-dependent criterion for absolute stability of Lurie type control systems with time delay.Control Theory and Application[J]，2001，18(6):929-931.

[5]Chen W H，Guan Z H，Lu X M，et al. Delay-dependent absolute stability of untertain Lurie systems with time-delay. Acta Automatica Sinica[J]，2004，30(2):235-238.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文