具有分布時滯不確定系統的滑模控制

摘 要: 針對一類含有分布時滯的不確定系統，通過利用Lyapunov穩定性理論和線性矩陣不等式方法進行了滑模控制研究。首先，構造了滑模控制器，使得系統滿足滑模到達條件；其次，通過構造適當的Lyapunov泛函，給出了閉環系統漸近穩定的充分條件。該充分條件通過采用虛擬反饋控制思想，結合狀態反饋的極點配置方法，轉換為線性矩陣不等式的形式，利用Matlab中的LMI工具箱進行求解。最后，仿真算例說明此方法的有效性。

關鍵詞: 不確定性；分布時滯；滑?？刂?/p>

中圖分類號：TP273 文獻標識碼：A

Sliding Mode Control of Uncertain Systems with Distributed Delays

LI Yan-bo

(College of Mathematics Science ， Guangxi Teachers Education University， Nanning Guangxi 530001，China)

ABSTRACT: Based on the Lyapunov stability theory and the linear matrix inequality approach， the sliding mode control for a class of uncertain systems with distributed delays is researched. Firstly，the sliding mode controller is constructed to satisfy the sliding mode reaching conditions. Secondly， the suffient conditions of closed-loop systems’ asymptotical stability is given by constructing the appropriate Lyapunov functionals. In terms of virtual feedback control method and combinating pole assignment of state feedback， the suffient conditions can be shown in LMIs and sovled easily by LMI toolbox in Matlab. Finally， the simulation example is given to illustrate the validity of the method.

KEY WORDS:uncertainties; distributed delays; sliding mode control

1引言

滑模變結構控制理論自從被提出以來，由于其對滿足匹配條件的不確定性具有完全的不變性這樣獨特的性質和廣泛的適用性而被受關注。由于在現實世界中，不可避免地存在不確定性和時間滯后現象，因此，時滯不確定系統的滑?？刂频玫搅藦V泛的研究，并取得了一定的研究成果。近年來，對于具有分布時滯控制系統的研究得到了關注[1-4]。文獻[1]對含有分布時滯和離散時滯的控制系統進行了絕對穩定性的研究。文獻[2]基于線性矩陣不等式研究了同時含有分布與離散時滯線性系統的 控制[5]。文獻[3]基于中立型變換研究了分布時滯系統輸出動態反饋鎮定問題。目前，對具有分布時滯的不確定系統的滑?？刂频难芯枯^少。

本文對同時含有分布時滯和離散時滯的不確定系統進行了滑模控制研究。設計了線性滑模面以及含有等效控制器和非線性切換控制器的滑?？刂破?，所設計的控制器能確保系統在有限時間內到達滑模面；通過構造李雅普諾夫泛函，利用線性矩陣不等式和積分不等式技巧給出了滑模面漸近穩定的充分條件。

2問題描述

考慮如下具有分布時滯不確定控制系統：

(1)

其中 分別為狀態、控制輸入。 均為時滯常數， ， 為適當維數的矩陣。

(2)

(3)

其中 為已知的常數矩陣， 是未知的時變矩陣，且滿足 。

假設1 ： 可鎮定，即存在矩陣 使得 是穩定的。

選取滑模面為

(4)

其中 是一個待定的正定矩陣

為了得到文本的主要結果，需要下面的引理。

引理1[6]給定實數 及正定矩陣 ，如果 ，那么下列不等式

對于任意使得積分收斂的向量值函數 成立。

引理2[7] 設 是一定維數的實矩陣，且 ，則任給標量 ，使得下列不等式成

立：

3主要結果

定理1對于系統(1)采用如下滑模控制器(5)，則從任意初始狀態出發的系統均滿足滑模到達條件。

(5)

其中等效控制為

非線性切換控制為

證明：令

則沿(1)式求導可得

保證了滑模面 可達。證明完畢。

把控制律(5)式表達成虛擬狀態反饋的形式

(6)

其中

定理2對于系統(1)，如果存在適當維數的正定對稱矩陣 ，對于任意給定的標量 ， ， 使得如下線性矩陣不等式(7)成立，則在控制器(5)的作用下，系統(1)的滑動模態是漸近穩定的。

(7)

其中

(8)

(9)

證明：構造Lyapunov泛函為

(10)

其中

則

(11)

由引理2得

(12)

(13)

(14)

到達滑模面時，(15)

因此，由公式(12)-(15)得

(16)

(17)

(18)

由引理1得

(19)

由公式(16)- (19)得

其中

如前面定理所定義。

由Schur補及公式(7)得 。證明完畢。

4仿真例子

對于系統(1)，取

， ，易于驗證矩陣 有不穩定的特征根，且 是可控的，根據極點配置，選取 ，使得矩陣 是穩定。 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，求解線性矩陣不等式(7)， 可得

滑模面為

由定理1得控制律

取初值條件為 ，仿真結果如下圖1-圖3

圖1 系統狀態的運動軌跡

圖2 滑模 控制的運動軌跡

圖3 滑動模態的運動軌跡

5結論

本文研究了具有分布時滯不確定系統的滑?？刂啤Ｊ紫葮嬙炝嘶？刂破?；然后，以線性矩陣不等式的形式給出了滑模運動是漸近穩定的充分條件；最后，仿真例子說明了該方法的可行性和有效性。

參考文獻

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文