線性不確定系統(tǒng)混合故障的可靠圓盤極點配置

摘 要：針對一類不確定線性系統(tǒng)，利用更一般、更實際的執(zhí)行器出現(xiàn)混合故障的模型，設(shè)計可靠控制器的同時將系統(tǒng)的極點配置到指定圓盤內(nèi)問題，混合故障模型是指在一個系統(tǒng)中同時包含離散故障模型和連續(xù)故障模型，并給出系統(tǒng)將極點配置到指定圓盤上可靠控制的充分條件.通過求解LMI(線性矩陣不等式)完成狀態(tài)反饋可靠控制器的設(shè)計。仿真驗證本文提出的設(shè)計控制器方法的可行性。

關(guān)鍵詞：不確定系統(tǒng);混合故障模型;圓盤極點配置;執(zhí)行器故障;可靠控制

中圖分類號：TP13 文獻標識碼：A

Reliable Circular Disk Pole Placement for Uncertain Linear Systems with Mixed Fault

WANG Jianhua ，YAO Bo，HUANG Shan

（College of Mathematics and Systems Science Shenyang Normal University ，Shengyang110034 ，China）

Abstract:The reliable circular disk pole placement design problem of mixed fault model with actuator faiure for a class of uncertain linear systems is discussed.A more practical and general model of actuator failure is presented. Mixed fault model is discrete fault model and continuous fault model coexist in a system， This controller designed to make the system less conservative， A sufficient condition of circular disk pole placement with mixed fault model reliable controller is given. State feedback controller is designed by solving LMI (linear matrix inequality). A simulation example shows the efficiency in a system.

Key words:uncertain linear systems ;mixed fault model;placement of disk pole;actuator failure;reliable control

1 前 言

可靠控制的目的是設(shè)計控制器使閉環(huán)系統(tǒng)無論控制部件是否出現(xiàn)故障都能保持穩(wěn)定且滿足一定的性能指標. Veillette^［1］在利用代數(shù)Riccati方程設(shè)計可靠控制器時首次提出一種離散的故障模型，楊光紅^［2］將離散故障模型進行了創(chuàng)新，引入了連續(xù)故障模型，即提出了控制器準失效的故障模型，我們稱之為連續(xù)的故障模型.

對于線性系統(tǒng)，如果所有的極點均在復平面的適當圓盤內(nèi)，那么系統(tǒng)將具有期望的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)特性，極點配置就是設(shè)計控制器使閉環(huán)系統(tǒng)極點分布在左半平面的適當區(qū)域內(nèi).近年來，人們提出了一些將系統(tǒng)的極點配置到一個指定的區(qū)域的方法^［3-16］， 并且在配置極點的時候考慮了系統(tǒng)的可靠性，如，文獻［8］給出傳感器出現(xiàn)故障的圓盤極點配置的可靠控制器設(shè)計方法，文獻［9］考慮的是執(zhí)行器故障圓盤極點的可靠配置.

文獻［8］［9］在設(shè)計可靠控制器時考慮的是連續(xù)的故障模型，而本文是針對混合故障模型的線性系統(tǒng)，提出的是閉環(huán)極點配置到指定圓形區(qū)域的可靠控制問題，這種混合故障模型正是在Veillette所提出的離散故障模型和楊光紅所提出的連續(xù)故障模型的基礎(chǔ)上考慮到了把兩種模型有效的結(jié)合到一起，使得在設(shè)計圓盤極點配置可靠控制器的時候保守性更小一些.通過求解線性矩陣不等式（LMIs）完成系統(tǒng)可靠控制器的設(shè)計，仿真實例可以看出，不僅在無故障的情況下將系統(tǒng)極點配置到指定圓盤上，而且當系統(tǒng)發(fā)生故障時仍然將系統(tǒng)極點配置到指定圓盤上，還具有良好的動態(tài)穩(wěn)定性.設(shè)計實例驗證了文中所給出的可靠控制器的設(shè)計方法是可行的.

2 問題描述

考慮如下線性不確定系統(tǒng)：

(t)=(A+ΔA)x(t)+Buf(t) （1）

其中不確定項ΔA=EΘD，ΘTΘ＜I，x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;A∈Rn×n，B∈Rn×m為常值矩陣;E，D為適維常值矩陣，Θ為時變矩陣;反饋控制律為:u(t)=Kx(t)，其中u(t)∈Rm為執(zhí)行器的正常信號向量，uf(t)∈Rm為考慮執(zhí)行器故障的信號向量.

執(zhí)行器混合故障模型描述如下

uf(t)=Fu(t)， （2）

其中，F(xiàn)為執(zhí)行器故障矩陣.

所以閉環(huán)系統(tǒng)為:

(t)=(A+ΔA+BKF)x(t)（3）

3 主要結(jié)果

引進如下記號:

M0=diag(m01，m02，…，m0n)，J=diag(j1，j2，…，jn)，Φ=diag(φ1，φ2，…，φn)，m0i=12(mui+mφi)，ji=mui－mφimui+mφi，φi=mi－m0im0i，(i=1，2，…，n)，可以得到M=M0(I+Φ) ，|Φ|≤J≤I(4)其中|Φ|=diag(|φ1|，|φ2|，…，|φn|).

定義1 故障矩陣的形式為

F=diag(l1，…，lp，mp+1，…，mn)=diag(l1，…，

lp，0，…，0)+diag(0，…，0，mp+1，…，mn) （5）

計算技術(shù)與自動化2011年3月

第30卷第1期王建華等：線性不確定系統(tǒng)混合故障的可靠圓盤極點配置

即F=Li+M （6）

其中:Li=diag(l1，…，lp，0，…，0)， M=diag(0，…，0，mp+1，…，mn)

也就是說執(zhí)行器故障矩陣F的組成部分是由離散的故障故障矩陣Li和連續(xù)型故障矩陣M兩部分組成的，其中離散故障矩陣模型Li=diag(l1，…，lp，lp+1，…，ln)其中l(wèi)p+1=…，=ln=0

離散故障矩陣Li定義如下:

Li=diag(l1，…，lp，0，…，0)

其中，lj=1表示第j個執(zhí)行器正常運行;lj=0表示第j個執(zhí)行器失效，j=1，2，…，p，執(zhí)行器故障共有N(≤2p)種組合模式，記為Li=L1，L2，…，LN.

連續(xù)的故障矩陣定義如下:

M=diag(m1，…，mp，mp+1，…，mn)

其中m1=…=mp=0，0≤mφi≤mi≤mui，mui≥1，為執(zhí)行器故障矩陣，這里mi=0時，表示執(zhí)行器第i條通道完全失效;當mi=1時，表示執(zhí)行器第i條通道正常工作;0≤mφi≤mi≤mui，mui≥1，且mi≠1，當表示執(zhí)行器第i條通道部分失效;

引理1 設(shè)R1，R2為適維常值矩陣，Σ為時變適維矩陣，|Σ|≤U，U為正定對角矩陣，有

R1ΣR2+RT2ΣTRT1≤βR1URT1+1βRT2UTR2

成立，其中β＞0為任意正標量.

引理2 對于閉環(huán)系統(tǒng)(2)，存在圓盤極點配置的控制K的充分必要條件是:

(A+ΔA+BKF－aI)P(A+ΔA+

BKF－aI)T－r2P＜0 （7）

有解P＞0，式中a+0j為極點所在的圓域D的圓心，r＞0為圓域D半徑.

引理3 設(shè)B，K為適維矩陣， P＞0，存在任意正標量ε＞0使得下不等式成立，

0BM0ΦKP(BM0ΦKP)T0≤

εBM0J(BM0)T00ε－1(KP)TJKP

其中M0=diag(m01，m02，…，m0n)，J=diag(j1，j2，…，jn)，Φ=diag(φ1，φ2，…，φn).

定理1 設(shè)Π=(A+ΔA+BKF－aI)P(A+ΔA+BKF－aI)T－r2P

Ψ=－r2PZZT－P，若Ψ＜0則Π＜0.其中， Z=(A+ΔA－aI)P+BFKP

定理2 若存在正定P＞0，ε1＞0以及

Γ=-r2P+ε1BM0JMT0BT (A+ΔA-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A+ΔA-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12

0J12Y-ε1I＜0（8）

則Ψ＜0.

證明 因為

Ψ=－r2PZZT－P=－r2PZ0ZT0－P+

0BM0ΦKP(BM0ΦKP)T0

其中Z0=(A+ΔA－aI)P+B(M0+Li)Y，KP=Y.

由定理1得

Ψ=－r2PZZT－P+ε1BM0J(BM0)T0

0ε-11YTJY=

-r2P+ε1BM0J(BM0)TZ0

ZT0-P+

0

YTJ12ε-110 J12Y

由Γ＜0及schur補引理得到

-r2P+ε1BM0J(BM0)TZ0

ZT0-P+

0

YTJ12ε-110 J12Y＜0.

定理3 若存在正定P＞0 ， ε2＞0以及

∑=-r2P+εBM0JMT0BT+ε2EET(A-aI)P+B(M0+Li)Y00

PAT-aP+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12 PDT

0 J12 Y-ε1I0

0DP0-ε2I＜0（9）

則Γ＜0.

證明 由Σ＜0，引理1及Schur補引理得到

Γ=-r2P+εBM0JMT0BT(A+ΔA-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A+ΔA-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12 

0J12 Y-ε1I

=

-r2P+εBM0JMT0BT(A-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12 

0J12 Y-ε1I+0ΔAP0ΔAP00000

=-r2P+εBM0JMT0BT(A-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12 

0J12 Y-ε1I+0EΘDP0PDTΘTET00000

≤-r2P+εBM0JMT0BT+ε2ETE(A-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12 

0J12 Y-ε1I+00001ε2PDTDP0000

≤-r2P+εBM0JMT0BT+ε2ETE(A-aI)P+B(M0+Li)Y0

P(A-aI)T+［B(M0+Li)Y］T-PYTJ12 

0J12 Y-ε1I+0PDT01ε20DP0＜0

定理4 對于系統(tǒng)(1)，如果存在正定矩陣P＞0并且滿足Σ＜0則存在反饋增益矩陣K=YP－1，使得閉環(huán)系統(tǒng)(4)的極點均在圓域D內(nèi)，其中D為以a+0j(a＜0)為圓心、r＞0為圓域D的半徑.

證明由P＞0和Γ＜0滿足定理3得Ψ＜0，則由定理2可得Π＜0，那么由引理2可得定理4成立.

4 數(shù)值仿真例子

設(shè)系統(tǒng)（1）的系數(shù)矩陣為

A=－0.91.72.30.5－3.6－1.82.8－2.6－4.3，

B=－3.70.40.3－3.50－0.2－4.9－0.80，E=0.50000.50000.5，

D=0.50000.50000.5（10）

由式（10）確定的系統(tǒng)的極點集合為{-7.2231，0.3912 ，-1.9681}，可以看出標稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.

若故障矩陣如下:

F=diag(li，m1)=diag(li，0)+diag(0，0，m1)

l1=diag(1，0)，l2=diag(0，1)，l3=diag(1，1)，l4=diag(0，0) .

所以離散的故障矩陣

L1=diag(1，0，0)，L2=diag(0，1，0)，

L3=diag(1，1，0)，L4=diag(0，0，0)(11)

連續(xù)的故障變化范圍為: 0.6918≤m1≤1.6745.在此范圍內(nèi)取特定的連續(xù)故障矩陣

取M1=diag(0，0，0.8) ，M2=diag(0，0，1.2)

配置極點所在的圓形區(qū)域D的圓心為－6+0j，半徑為r=4.

根據(jù)定理4所設(shè)計的可靠控制增益矩陣為

K=0.01390.0126－0.0003－0.2781－0.33150.0395－28.5614－16.1296－6.0420(12)

當系統(tǒng)不發(fā)生故障時候其極點為:λ(A+BK)={－6.3658，－5.5390，－3.3681}

當系統(tǒng)發(fā)生故障的時候其極點分布如圖1所示:

圖1 執(zhí)行器故障的極點分布

仿真結(jié)果表明，由本文方法設(shè)計的容錯控制器，對故障矩陣F具有良好的性能，不僅保證了系統(tǒng)在無故障和發(fā)生執(zhí)行器故障時的漸近穩(wěn)定性，而且把系統(tǒng)的極點都能夠配置到指定的圓盤里面。

5 結(jié) 論

本文針對實際系統(tǒng)中執(zhí)行器失效問題，建立了混合故障模型，給出了將系統(tǒng)極點配置到指定圓盤上的充分條件，通過求解LMI提出一種可靠控制器的設(shè)計方法，通過仿真實例可以看出，不僅在無故障的情況下將系統(tǒng)極點配置到指定圓盤上，而且當系統(tǒng)發(fā)生故障時仍然將系統(tǒng)極點配置到指定圓盤上，還具有良好的動態(tài)穩(wěn)定性。設(shè)計實例驗證了文中所給出的極點配置可靠控制器的設(shè)計方法是可行的。

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文