復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的教與學(xué)

【摘要】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)一直是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點和難點， 本文通過對復(fù)合函數(shù)教學(xué)中一些問題進行了討論， 指出了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)過程中可能會遇到的困難， 并指出相對應(yīng)的辦法及相關(guān)的教學(xué)技巧。

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的知識點學(xué)生難以理解和記憶， 不僅僅難在瑣碎的記憶上， 更重要的是如何引入一些中間變量，把復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)分解成簡單的函數(shù)求導(dǎo)。若老師僅僅讓學(xué)生去死記幾種題型的解法及一些求導(dǎo)公式， 學(xué)生不容易理解和接受， 教學(xué)效果較差。然而復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法在整個求導(dǎo)的運算中以及在解決一些現(xiàn)實問題上都處于非常重要的地位， 能夠熟練地掌握和運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的運算規(guī)則是衡量一個學(xué)生求導(dǎo)及解決現(xiàn)實問題能力的重要標(biāo)志之一。然而求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對于學(xué)生來說是既不容易掌握也極容易出錯， 它是導(dǎo)數(shù)這部分的難點之一。因此， 把握好復(fù)合函數(shù)的難點和重點， 把比較復(fù)雜的函數(shù)分解成簡單的函數(shù)， 將成為學(xué)好復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵， 也是教師需要關(guān)注的。

1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的難點和重點

微積分的系統(tǒng)性主要表現(xiàn)在各個部分知識是相互聯(lián)系、不可分割的。教師在復(fù)合函數(shù)教學(xué)的準(zhǔn)備階段， 既要認(rèn)真鉆研復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)又要把握好導(dǎo)數(shù)這部分的總體結(jié)構(gòu)， 需要明確各知識點之間的聯(lián)系， 并且弄清學(xué)生難以掌握的具體原因， 這是突破難點的關(guān)鍵。由于復(fù)合函數(shù)在實踐中被廣泛的應(yīng)用， 因此也是整個數(shù)學(xué)教學(xué)中極為重要的基礎(chǔ)知識。而復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法是由一元函數(shù)求導(dǎo)發(fā)展而來的， 是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)及重積分的基礎(chǔ)。從多年的教學(xué)經(jīng)驗中， 筆者總結(jié)了學(xué)生難以掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的原因：①復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)所涉及的函數(shù)關(guān)系比較復(fù)雜而且多變。②復(fù)合函數(shù)的概念前后交錯。③復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的中間變量不容易準(zhǔn)確的設(shè)出， 即使能夠設(shè)出， 在計算的過程中也往往容易出現(xiàn)丟項落項的現(xiàn)象， 這使得學(xué)生難以掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。通過分析， 筆者覺得突破這一難點的關(guān)鍵有： ①認(rèn)清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。②在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)時， 需要通過增加中間變量來解決復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。在復(fù)習(xí)初等函數(shù)時， 要使學(xué)生熟練地掌握六類最基本的初等函數(shù)， 需要學(xué)會分析初等函數(shù)， 從而弄清復(fù)合函數(shù)之中復(fù)合的關(guān)系， 然后要教會學(xué)生在對復(fù)合函數(shù)設(shè)出其中的中間變量的基礎(chǔ)上， 同時要明確復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中三個最基本的規(guī)則： ①需要明確分析函數(shù)中的復(fù)合關(guān)系， 且要恰當(dāng)?shù)卦O(shè)置之間的變量， 把復(fù)合函數(shù)分解成一些基本初等函數(shù)， 以便最終達到求導(dǎo)的目的。②要明確鏈?zhǔn)椒▌t的適用條件。③在采取鏈?zhǔn)椒▌t時， 一般需要由最外層開始設(shè)變量， 先使用法則，最后使用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本公式， 一層一層的進行求導(dǎo)， 在一個復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)過程中， 需要牢記在求導(dǎo)的過程是誰對誰求導(dǎo)數(shù)， 注重求導(dǎo)的任何一個環(huán)節(jié)， 這樣才不容易遺忘求導(dǎo)的項。

2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的幾點技巧

2.1 用例證辦法引出復(fù)合函數(shù)的概念

可以通過例如函數(shù)y=sin（x2+4） 引出復(fù)合函數(shù)的概念。分析： 在學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)之前我們只僅僅討論過形如y=sinx 的三角函數(shù)， 對于其性質(zhì)、圖象以及求導(dǎo)都比較熟悉， 而對于函數(shù)y=sin（x2+4）， 單單從結(jié)構(gòu)上來看， 區(qū)別于函數(shù)y=sinX， 這時就可以單從結(jié)構(gòu)上去引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)y=sin（x2+4） 進行分解， 將函數(shù)分解成為y=sint 以及t=x2+4 的這樣兩個函數(shù)， 然而這兩個函數(shù)分別有著不同的求導(dǎo)法則， 這樣就會讓學(xué)生初步地了解， 同樣是含有三角符號的函數(shù)， 僅函數(shù)y=sin（x2+4） 的結(jié)構(gòu)有了一定的變化，那么求導(dǎo)的過程和結(jié)果會不會有什么變化呢?類似于這樣結(jié)構(gòu)的函數(shù)又叫什么函數(shù)呢？ 由此可以引出復(fù)合函數(shù)的概念。

2.2 善于引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)復(fù)合關(guān)系

在學(xué)生掌握了復(fù)合函數(shù)概念的基礎(chǔ)上， 需要進一步去引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地分析復(fù)合函數(shù)的中的復(fù)合關(guān)系。對于這個問題可以采用從外向內(nèi)層層剝的辦法， 將復(fù)合函數(shù)進行分解。這就需要對于已給的復(fù)合函數(shù)進行一定的觀察， 首先要確定將哪部分函數(shù)看成一個整體。如果所求導(dǎo)的復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)恰好是某一個基本初等函數(shù)， 將其設(shè)為第一個中間變量， 可以采用一個基本初等函數(shù)來表示它， 然后再對第一個中間變量的函數(shù)進行觀察， 再把那個函數(shù)視為一個整體， 這時這個函數(shù)在結(jié)構(gòu)上也應(yīng)該是某一個基本初等函數(shù)， 就可將其視為整體的函數(shù)， 將其看成第二個中間變量，用另外一個基本初等函數(shù)來表示它， 從而可以剝到最后一個簡單函數(shù)進行求導(dǎo)。

例如： y=（lnsinx2） 2 令t=lnsinx2則： y=t2， 令u=sinx2則t=lnu 令=x2則u=sin 則整個函數(shù)y 可以看成是y=t2；t=lnu； u=sinμ； =x2復(fù)合而成這樣就使得整個題目變得簡單明了。

3 結(jié)論

通過上面的論述， 我們可以看出在復(fù)合函數(shù)教學(xué)中，讓學(xué)生去分析復(fù)合函數(shù)中自變量以及函數(shù)由什么初等函數(shù)組成的是非常重要的， 我們應(yīng)該去引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，解決問題， 這樣復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)教學(xué)也會變得容易， 學(xué)生也會容易接受相關(guān)的知識點， 從而提高教學(xué)質(zhì)量。

【參考文獻】

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