三次函數(shù)圖象切線問題的探究

三次函數(shù)是在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)候開始重點(diǎn)接觸的一類函數(shù)，他的性質(zhì)很多，也是我們用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)經(jīng)常遇到的一類函數(shù)，對(duì)于用這種函數(shù)為例分析問題和解決問題學(xué)生是很好接受的，對(duì)于曲線的切線問題，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用三次函數(shù)的切線性質(zhì)來引導(dǎo)學(xué)生解決復(fù)雜曲線問題可以作為這部分教學(xué)的切入，高考中三次函數(shù)的切線問題也頻頻出現(xiàn)，下面三次函數(shù)切線問題做如下探究。

一、當(dāng)直線斜率為時(shí)的相切情況

三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）

1.a＞0，斜率k= 時(shí)，有且只有一條切線；

k＞時(shí)，有兩條不同的切線；

k＜ 時(shí)，沒有切線；

2.a＜0，斜率k= 時(shí)，有且只有一條切線；

k＜時(shí)，有兩條不同的切線；

k＞ 時(shí)，沒有切線；

證明f'（x）3ax2+2bx+c

1.a＞0當(dāng)

當(dāng)k= 時(shí)，方程3ax2+2bx+c= 有兩個(gè)相同解，

所以斜率為k的切線有且只有一條；其方程為：

當(dāng)k＞ 時(shí)，方程3ax2+2bx+c=k，有兩個(gè)不同的解x1，x2，且x1+x2=-，即存在兩個(gè)不同的切點(diǎn)（x1，f(x1)），（x2，f（x2）），且兩個(gè)切點(diǎn)關(guān)于三次函數(shù)圖象對(duì)稱中心對(duì)稱。所以斜率為k的切線有兩條。

當(dāng)k＜ 時(shí)，方程3ax2+2bx+c=k無實(shí)根，所以斜率為k的切線不存在。

2.a＜0時(shí)，讀者自己證明。

二、過三次函數(shù)圖象上一點(diǎn)的切線

設(shè)點(diǎn)P為三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）圖象上任一點(diǎn)，則過點(diǎn)P一定有直線與y=f（x）的圖象相切。若點(diǎn)P為三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則過點(diǎn)P有且只有一條切線；若點(diǎn)P不是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則過點(diǎn)P有兩條不同的切線。

證明 設(shè)p（x1，y1）過點(diǎn)P的切線可以分為兩類。

1 P為切點(diǎn)k1=f'（x1）=3ax12+2bx1+c

切線方程為：y-y1=（3ax12+2bx1+c）（x-x1）

2 P不是切點(diǎn)，過P點(diǎn)作y=f（x）圖象的切線，切于另一點(diǎn)Q（x2，y2）

∴，也就是說，

∴當(dāng) 時(shí)，兩切線重合，所以過點(diǎn)P有且只有一條切線。

當(dāng)時(shí)，k1≠k2，所以過點(diǎn)P有兩條不同的切線。

其切線方程為：

由上可得下面結(jié)論：

過三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）上異于對(duì)稱中心的任一點(diǎn)p1（x1，y1）作y=f（x）圖象的切線，切于另一點(diǎn)p2（x2，y2），過p2（x2，y2）作y=f（x）圖象的切線切于p3（x3，y3），如此繼續(xù)，得到點(diǎn)列p4（x4，y4）——pn（xn，yn）——，則，

且當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)趨近三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心。

證明設(shè)過pn（xn，yn）與y=f（x）圖象切于點(diǎn)pn+1（xn+1，yn+1）的切線為pnpn+1，

三、過三次函數(shù)圖象外一點(diǎn)的切線

略

（作者單位：河北省石家莊市平安北大街1號(hào)石家莊市第一中學(xué)）