離散數學的學習方法及應試技巧

摘要：分析了離散數學的課程特點，給出學習該課程的指導性方法；結合考試中的各種題型，給出了相應的復習方向及應試技巧，并結合教學實踐提出了相關建議。通過推廣這些方法和技巧，本院學生的應試成績得到了普遍提高。

關鍵詞：離散數學；課程特點；常見題型；解題技巧

0 引言

離散數學主要研究離散量的結構和相互間的關系，它充分體現了計算機科學離散性的特點。由于離散數學在計算機科學中的重要性，許多大學都把離散數學或其中一部分作為研究生入學考試的內容。作為計算機專業的一門專業基礎課程，離散數學有與其它課程相通相似的部分，當然也有它自身的特點。本文首先分析了課程特點，然后根據常見題型給出了應試技巧，最后對課程的學習方法做了小結。

1 課程內容特點

1.1定義和定理多

離散數學是建立在大量定義上面的邏輯推理學科，因而對概念的理解是學習這門學科的核心。在學習這些概念的時候，特別要注意概念之間的聯系——描述這些聯系的實體是大量的定理和性質。

離散教學考試的一部分內容是考察大家對定義和定理的識記、理解和運用。這類內容往往因其難度低而在復習中被忽視。在研究生入學考試的專業課試題中，經常出現直接考查對知識點的識記的題目。對于這種題目，考生應該能夠準確、全面地再現此知識點，任何的模糊和遺漏，都會造成極為可惜的失分。筆者建議，在復習的時候，對重要知識的記憶，務必以“準確、全面”為標準來要求自己。關于這一點，要使之貫穿于整個離散數學的復習過程中。離散數學的定義主要分布在集合論的關系和函數部分，還有代數系統的群、環、域、格和布爾代數中。一定要很好地識記和理解。

1.2方法性強

離散數學的證明題，方法性是非常強的，如果知道一道題用怎樣的方法證明，很輕易就可以證出來，反之則事倍功半。所以在平常復習中，要善于總結，那么遇到比較陌生的題也可以游刃有余了。在復習中，學生應注重總結解題方法，同時還應勤于思考。對于一道題，盡可能地多探討幾種解法。

1.3有窮性

由于離散數學較為“傳統”，出新題比較困難，不管什么考試，許多題目是陳題，或者稍作變化得來的‘。“熟讀唐詩三百首，不會做詩也會吟。”如果拿到一本習題集，從頭到尾做過，甚至背會的話，那么，在考場上就會發現絕大多數題目都見過或似曾相識。這時，要取得較好的成績也就不是太難的事情了。

2 常見題型及解題技巧

2.1基礎題

基礎題是考察對定義的識記，以及簡單的證明和推理能力。題目主要集中在數理邏輯部分和集合論部分。這些題目不需要思考，很容易上手。對這一部分的題目考生主要是要防止粗心大意和對定義記憶似是而非而丟失分數。如在主合取范式中，要注意極大項編碼對應的指派與真值表對應的指派相反(這一點在許多的參考書里也會犯錯誤)；還要防止沒有按照一定的方法而引起的錯誤，如我們在數理邏輯或者集合論里作等價推演時，可以省略若干不重要的步驟，而在推理理論原則不能省略任何步驟，否則被認為是邏輯錯誤。在復習中，還要注意融會貫通，例如，數理邏輯和集合論是相通的，因此記憶或者總結方法的時候可以綜合起來，這樣便于比較和理解。

2.2定理應用題

這類題目是最“固定”的一類，它主要體現了離散數學方法性強的特點。這一部分占了考試內容的大部分，學生應當在這一部分下功夫。記住了各種方法，也就拿到了離散數學的大部分分數。

下面列出常用的幾種應用。

(1)證明等價關系：即要證明關系的自反、對稱、傳遞性質。

(2)證明偏序關系：即要證明關系的自反、反對稱、傳遞的性質。

(3)證明集合等勢：即證明兩個集合中存在雙射。有三種情況：第一，證明兩個具體的集合等勢。可用構造法，或者直接構造一個雙射，或者構造兩個集合相互間的入射。第二，已知某個集合的基數，如果為N，就設它和R之間存在雙射，然后通過f的性質推出另外的雙射，因此等勢；如果為NO，則設和N之間存在雙射。第三，已知兩個集合等勢，然后再證明另外的兩個集合等勢。這時，先設已知的兩個集合存在雙射，然后根據剩下題設條件證明要證的兩個集合存在雙射。

(4)證明群：即要證明代數系統封閉、可結合、有幺元和逆元。

(5)證明子群：證明子群的定理有兩個，但通常考第二個定理：設s，則∈是群，s是G的非空子集，如果對于s中的任意元素a和b有a*b-1是的子群。若對于有限子群，則要考慮第一個定理。

(6)證明格和子格：子格沒有條件，因此和證明格一樣：證明集合中任意兩個元素的最大元和最小元都在集合中。

(7)圖論雖然方法性沒有前幾部分的強，但是也有一定的方法，如最長路徑法、構造法等等。

2.3難題

難題是考試中比較難以下手，用來拉開分數檔次的題。難題主要有以下四種，我們來逐一進行分析。

(1)綜合題

綜合題是內容涵蓋若干章節的問題。這類題大多數落在群論里面的陪集、拉格朗日定理、正規子群、商群這一部分中。這一部分結合的內容很多，而且既復雜又難理解，是整個離散數學中的難點。

拉格朗日定理把群和等價關系、劃分結合在一起，又與群的階數相掛鉤(在子群中有一部分階數方面的題是比較難的題，它的解法依據就在此處)；商群將兩個群結合在一起，因為兩個群的元素是不同的，因此必須把概念弄清楚才不至于混亂；同余關系把群和關系相結合，定義了一種新的關系；自然同態把正規子群和商群相聯系，也是某些證明題的著眼處……當然，綜合題不只這些。離散數學是一個融會貫通的學科，像集合論，圖論等都可能成為綜合題的命題點。

對于綜合題，我們可以從兩方面下手。首先不管題設如何，看所要證明的問題，按照定理應用的題型著眼，設出所需要的格式，然后進行進一步推演；其次可以先看題設，應用已知條件的性質定理向前推幾步，看看哪一個性質更能夠接近所問，題目也就迎刃而解了。

(2)例外題

例外題有兩個含義。首先，是對于定理應用題而言的。對于一個概念的判定定理和性質定理不是惟一的，而定理應用題是給出的是最常出題的定理，因此有的考題可能考出一個不常用的定理。其次，例外題還有一種題型是與我們平常思維相悖的問題，如：有一些題目給出一個結論，說如果它正確的話請指出來，錯誤的話則請證明，憑做題經驗通常是要選擇證明的那條思路。其實也不妨用一些時間看看能不能指出來，從而不用證明：

(3)偏題

常常有的復習材料會說某某章是非重點，不會考到之類的話，這是非常錯誤和有害的。其結果是令這些章節成為讀者復習中的盲點，又成為一種難題。這些章節通常概念少，定理不多，因此題目本身不難，但由于沒有好好復習或者根本沒有復習，拿不到分數是非常令人懊喪的。所以我們建議讀者進行全面復習，除非是所報考院校明確說明不考的部分，其余內容一律要認真復習。即使是復習時間比較少，也必須做到至少是了解了基本概念和定義。就內容而言，函數一章中的基數部分和格，以及布爾代數一章是人們容易忽略的問題。

3 結果分析

有很多學生不喜歡離散數學課程不僅是因為內容枯燥，更重要的是不了解它的作用。所以在實際教學內容中，教師不僅要強調知識點的把握，更要強調離散數學的廣泛應用，比如與計算機學科的結合：離散數學與計算機網絡，與數據結構，與計算機體系結構都有細致的結合。并且計算機提供了一個十分理想的讓學生積極探索問題的環境，學生完全可以利用它來做數學實驗，這樣就能在問題解決過程中理解和掌握抽象的數學概念，而不僅僅是一些抽象的數學結論。在這樣的過程中，教師更像學生的輔導者或幫助者，為學生提供他們需要使用的工具與資料，以便學生能夠建構知識。教師在實驗教學中，需要的是問學生一些探試性的問題，引導學生找到解決問題的方法，提供給學生存儲與分析信息的工具。

多年的教學實踐證明，在離散數學教學中增加實驗內容，能取得十分理想的教學效果。重難點清晰，應試技巧明確的學習實踐更能使離散數學課程的考核效果顯著提升。

4 結束語

離散數學是計算機學科的一門非常抽象的專業基礎課，在當前離散數學教學內容理論性強、學時少、任務重、教學方法和手段單一的情況下，本文從課程特點出發，結合課程考試的題型，總結了課程教學的重難點，并給出了各類題型的應試方式。學院多年的教學實踐證明：通過所述教學過程學生學習離散數學的興趣越來越濃，學習效果也明顯提高。其具體表現為：一是通過不斷提高學生對課程重要性的認識，結合理論知識與計算機的應用，走出課程學習的思想誤區，提高了學生的學習興趣；二是通過老師對教學方法、實驗教學和教學手段的不斷改進和提高，獲得了更好的教學效果，促使教學質量得到了進一步提升。

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