一道變質量問題的求解

　　在中學物理競賽中，我們常遇到有關變質量問題的求解。對于這一類題目，很多同學會利用機械能守恒定律求解。實際上，在這個問題中由于研究對象的質量在改變，并且在變化的過程中相當于很多完全非彈性碰撞，體系要損失部分能量，因此整個過程機械能不守恒。對此類題目，常可用以下方法求解，動量定理、變質量物體的動力學方程——密舍爾斯基方程、質心運動定理。現以一個競賽題的求解為例：
　　題目 如圖1所示，長為l的均勻鐵鏈質量為m，一端被提起，另一端恰好觸地，但無作用力。設從靜止開始釋放，且鐵鏈落地后不彈起。
　　試證明：下落過程中鐵鏈對地的作用力等于已落地那段鏈條的重力的三倍。
　　分析 本題有多種解法。
　　方法一：用動量定理，繩中任意小質元的落地速度為其自由下落的速度，落地后的速度變為零，其動量的改變等于地面給予的沖量。由此得出的地面沖力的反作用力即是該質元對地面的壓力，再加上已落在地面部分繩子的重力，就是地面所受的總壓力。
　　方法二：用變質量物體的動力學方程——密舍爾斯基方程，可取已落在地面上的那部分繩子作為主體，不斷加入的部分作為其附加物。
　　方法三：用質心運動定理，把全部繩子看作質點系，其質心的運動取決于所受重力。
　　解 方法一：用動量定理
　　設已有長為(l-x)的一段繩子落在地面上，接著在dt時間內又有dx的一小段繩子以速度2g(l-x)下落到地面上，落地后其速度變為零，故其動量改變了λdx2g(l-x)，式中λ是繩子質量的線密度。由動量定理知，這一小段繩子動量的改變等于它在dt時間內所受的沖量。設N1是地面對dx段繩子的支持力，則有
　　λdx2g(l-x)=N1dt，
　　故N1=λ2g(l-x)dxdt
　　=λ2g(l-x)2g(l-x)
　　=2λg(l-x)。
　　地面對已落下的(l-x)段繩子的支持力設為N2，則N2=λg(l-x)，
　　故總支持力為：
　　N=N1+N2=3λg(l-x)。
　　方法二：用密舍爾斯基方程
　　如圖1所示，設在某時刻t，已有長為(l-x)的一段繩子落在地面上，把它作為主體，其質量為：
　　M(t)=λ(l-x)
　　這段繩子的速度為v(t)=0。
　　這段繩子（主體）所受外力F為重力-λ(l-x)g及地面支持力N的合力，即
　　F=-λ(l-x)g+N
　　在dt時間內有質量為dM的繩子（附加物）加入主體，附加物加入主體前的速度為：
　　u=dxdt=-2g(l-x)
　　用密舍爾斯基方程，
　　Mdvdt=(u-v)dMdt+F
　　把前三式代入密舍爾斯基方程，得
　　0=udMdt-λ(l-x)g+N
　　故地面支持力N為：
　　N=λ(l-x)g-udMdt
　　=λ(l-x)g-dxdt?d［λ(l-x)］dt
　　=λ(l-x)g+λu2
　　=λ(l-x)g+2λ(l-x)g
　　=3λ(l-x)g。
　　可見，地面對鐵鏈的支持力N（其大小等于地面受鐵鏈的壓力）為已落在地面上的那部分鐵鏈重量λ(l-x)g的三倍。
　　方法三：用質心運動定理
　　把全部質量看作質點系，其質心位置隨鐵鏈的下落而降低。設已有(l-x)段鐵鏈落在地面上，則質心的位置、速度、加速度分別為：
　　xC=λ(l-x)?0+λx?x2λl=x22l
　　vC=dxCdt=12ldx2dt=xldxdt
　　=-xl2g(l-x)
　　aC=dvCdt=xld2xdt2+1l(dxdt)2
　　=-xlg+1l［-2g(l-x)］2
　　=2g(l-x)l-xgl。
　　由質心運動定理有：
　　N-λlg=λlaC，
　　把aC代入，得到地面支持力N為
　　N=λlg+λlaC
　　=λlg+λl［2g(l-x)l-xgl］
　　=3λg(l-x)。
　　小結
　　(1)對于變質量問題的求解，一般不用機械能守恒定律。
　　(2)雖然求解變質量問題的方法較多，但中學階段筆者認為一般采用動量定理求解，求解這類問題的關鍵就是正確地求出這個過程中體系的動量變化量。
　　(欄目編輯羅琬華)