關(guān)于力系做功的討論

　　摘要：本文利用力系簡化和剛體運動分解的結(jié)果，導(dǎo)出力系做功的表達式。并推導(dǎo)得出：力系簡化成合力時，合力的功必等于各分力的功的代數(shù)和。
　　關(guān)鍵詞：剛體;力系簡化;做功
　　中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148(2011)2(S)-0037-2
　　
　　功和能是貫穿整個物理學(xué)的基礎(chǔ)性概念，更是初等物理學(xué)和普通物理學(xué)力學(xué)部分的重要內(nèi)容。然而，在教學(xué)過程中與功和能相關(guān)的有些結(jié)論往往被誤解或受到懷疑。例如某些教師懷疑“合力的功一定等于各分力的功的代數(shù)和”［1-3］。對上述懷疑的產(chǎn)生，筆者認為有以下兩種原因：一種是由于對合力概念的誤解，另一種則是由于這個結(jié)論往往是對共點力的合力做功討論后就給出的，在這種情況下，合力作用點的位移與各分力作用點的位移相同。因此，當(dāng)各分力作用點與合力作用點不重合，且這些點的位移不相同時，就會讓人質(zhì)疑合力的功是否還等于各分力的功的代數(shù)和。另外，可能還會引發(fā)與化簡中心改變等相關(guān)問題的討論。
　　
　　1 力系做功的表達式
　　
　　作用于一個剛體上的一組力，如F1、F2、…、Fn，叫做一個力系(圖1)。各個力的作用點分別為A1、A2、…、An，選擇O點為化簡中心，各分力的作用點對O點的矢徑分別為r1、r2、…、rn。根據(jù)力系簡化理論［4］：力系的作用等價于過O點的主矢，即
　　R=F1+F2+…+Fn=Σni=1Fi，（1）
　　和相對于O點的主矩：
　　LO=r1×F1+r2×F2+…+rn×Fn
　　=Σni=1ri×Fi，(2)
　　的共同作用。
　　剛體的運動有多種形態(tài)，其上各點運動可能各不相同。但是由于剛體具有不變形的基本特點，其運動便可以分解為隨基點(例如O點)的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動［5］。例如，某時刻Ai點的速度為：
　　這就是說，力系的元功等于各分力的元功的代數(shù)和。它可以分解為兩部分：一是主矢R與化簡中心O的元位移drO的標(biāo)積，二是主矩LO與剛體角位移dφ的標(biāo)積。
　　
　　2 合力的功
　　
　　眾所周知，作用在一個質(zhì)點上的力系可以簡化為一個合力。同樣，作用在一個剛體上的共點力系也可以簡化成一個合力［6］。合力與主矢是兩個不同的概念。前者必須說明作用點才有意義，后者則不包含作用點的因素［4］。對于作用在一個剛體上的力系，只有在恰當(dāng)選取化簡中心后，且相對于此中心的主矩為零時，即
　　這就是說，當(dāng)力系簡化為合力時，合力的功仍等于各分力的功的代數(shù)和。
　　由于作用于剛體上的力為滑移矢量［7］，因此對上述結(jié)論仍需作進一步說明。不