關于力系做功的討論

　　摘要：本文利用力系簡化和剛體運動分解的結果，導出力系做功的表達式。并推導得出：力系簡化成合力時，合力的功必等于各分力的功的代數和。
　　關鍵詞：剛體;力系簡化;做功
　　中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148(2011)2(S)-0037-2
　　
　　功和能是貫穿整個物理學的基礎性概念，更是初等物理學和普通物理學力學部分的重要內容。然而，在教學過程中與功和能相關的有些結論往往被誤解或受到懷疑。例如某些教師懷疑“合力的功一定等于各分力的功的代數和”［1-3］。對上述懷疑的產生，筆者認為有以下兩種原因：一種是由于對合力概念的誤解，另一種則是由于這個結論往往是對共點力的合力做功討論后就給出的，在這種情況下，合力作用點的位移與各分力作用點的位移相同。因此，當各分力作用點與合力作用點不重合，且這些點的位移不相同時，就會讓人質疑合力的功是否還等于各分力的功的代數和。另外，可能還會引發與化簡中心改變等相關問題的討論。
　　
　　1 力系做功的表達式
　　
　　作用于一個剛體上的一組力，如F1、F2、…、Fn，叫做一個力系(圖1)。各個力的作用點分別為A1、A2、…、An，選擇O點為化簡中心，各分力的作用點對O點的矢徑分別為r1、r2、…、rn。根據力系簡化理論［4］：力系的作用等價于過O點的主矢，即
　　R=F1+F2+…+Fn=Σni=1Fi，（1）
　　和相對于O點的主矩：
　　LO=r1×F1+r2×F2+…+rn×Fn
　　=Σni=1ri×Fi，(2)
　　的共同作用。
　　剛體的運動有多種形態，其上各點運動可能各不相同。但是由于剛體具有不變形的基本特點，其運動便可以分解為隨基點(例如O點)的平動和繞基點的轉動［5］。例如，某時刻Ai點的速度為：
　　這就是說，力系的元功等于各分力的元功的代數和。它可以分解為兩部分：一是主矢R與化簡中心O的元位移drO的標積，二是主矩LO與剛體角位移dφ的標積。
　　
　　2 合力的功
　　
　　眾所周知，作用在一個質點上的力系可以簡化為一個合力。同樣，作用在一個剛體上的共點力系也可以簡化成一個合力［6］。合力與主矢是兩個不同的概念。前者必須說明作用點才有意義，后者則不包含作用點的因素［4］。對于作用在一個剛體上的力系，只有在恰當選取化簡中心后，且相對于此中心的主矩為零時，即
　　這就是說，當力系簡化為合力時，合力的功仍等于各分力的功的代數和。
　　由于作用于剛體上的力為滑移矢量［7］，因此對上述結論仍需作進一步說明。不