論數學技能的內涵及其培養途徑

摘要：數學技能是數學教學和學習的重要內容。本研究關注國內外學者對技能和數學技能的不同理解和要求，以及我國學生的數學技能發展狀況。總結了數學技能的學習分析，最后對數學技能的教學進行反思。

關鍵字：技能數學技能訓練

[中圖分類號]：014 [文獻標識碼]：A [文章編號]：1002-2139(2010)-12-0242-02

數學技能的形成與發展對數學知識的掌握和對數學能力的形成與發展都起著重要的作用。在數學技能形成的過程中，能促進學生對原有數學知識的掌握與理解，在技能形成之后又有利于后繼知識的學習，成為以后學習不可或缺的條件。

一、技能與數學技能

(一)技能

要考慮數學技能，首先必須明確什么是技能。

技能，源于心理學概念。國內外的研究者分別從各自的研究角度出發對“技能”給予了界定。大致可以概括為以下幾種觀點：

“智慧技能說”美國心理學家加涅在《學習的條件和教學論》一書中對智慧技能做了專門的論述，他認為智慧技能是“個體運用符號與環境相互作川的性能。

”任何一種技能的學習都有賴于先前一種或幾種簡單技能的學習。

“經驗內化說”北師大馮忠良教授在《結構一定向教學的理論與實踐——改革教學體制的探索》中對“技能”進行了深入的研究。他認為，“心智技能的內涵，也就是智力技能，是一種調節、控制心智活動的經驗，是通過學習而形成的合乎法則的心智活動方式。”

“程序知識說”美國認知心理學家安德森在其著作《認知心理學》中，從信息加工心理學的角度，將知識分為陳述性知識和程序性知識兩大類(常稱為廣義知識觀)。陳述性知識是回答“是什么”的知識，而程序性知識是回答“怎么樣”的知識。廣義知識觀下，程序性知識在本質上表現為一種技能，它又分為兩個亞類：一類是智慧技能，即通過練習運用可以達到相對自動化，且很少或不需要受意識控制的知識：另一類是認知策略，即受意識控制、運用難以達到自動化的知識。

在對技能的認識上，我國的絕大部分學者都是從具體知識、具體概念出發來考慮。其中最具代表性的是《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》，將“知識”與“技能”作為一個整體成為課程目標的一個方面。可見，以“知識為本”定義和考量技能是我國的…個基本出發點。而綜觀美、英等西方國家的課程標準或框架不難發現，他們的技能偏重于具體情境，以發展學生的“能力為本”。

(二)數學技能

目前國內外幾乎沒有資料確切的給出數學技能的定義，較多的只是指出數學技能包括什么內容，或者說學生的學習應該達到什么樣的水平。大家普遍認同的數學技能定義是：在數學學習的過程中，通過訓練得以完成數學任務的一種活動方式或者智力活動方式。

縱觀數學技能分類的討論，可以分為內容、性質、層次三個角度

第一，內容。田中等人認為，從內容的角度出發，數學技能可以分為運算技能，圖形處理技能和推理技能(田中等，2003，P39)。初級的運算技能既包括對具體數學對象進行變形、運算、和求解，也包括對算法的選擇及其合理性的判斷，以及心算、估算的技能。圖形處理技能包括識圖技能和作圖技能，識圖技能是借助直觀圖形輔助學習數學知識、解決數學問題時所具備的識別圖形及各要素間關系的技能。作圖技能即根據需要正確的選擇作圖工具合理的使用作圖方法的技能。推理技能是根據已知作出新的判斷的技能，論證是推理的具體表現形式。

第二，性質。陳光耀等人認為，按照性質可以將數學技能分為操作技能和心智技能兩大類(陳光耀，2006)。數學操作技能是指實現數學任務活動的方式主要是通過外部操作，它是一種由各個局部動作按照一定的程序連貫而成的外部操作活動方式。數學心智技能順利的完成數學任務的心智活動方式，它是一種內部認知活動，以思維為其主要活動成分。心智技能與操作技能有共性，都可以通過學習訓練形成，都有一定的順序性，也有區別，操作技能是外顯的形式，有客觀性，而心智技能是內隱的形式，有主觀性。

第三，層次。鑒于按照內容和性質分類的種種局限，有學者提出按照層次分類。根據能否達到自動化和是否受意識控制，可以將數學技能分為程序性技能和策略性技能。(尹邦彥、李銘振，1995)。程序性技能是指通過訓練達到相對自動化，較少受意識控制的技能，策略技能受到意識的控制，難以達到自動化。

還有學者根據從簡單到復雜，從低級到高級把數學技能分為簡單模仿技能、掌握實質性的技能、創造性的運用技能。

二、數學技能的形成與發展

數學技能的形成與發展對數學知識的掌握程度和數學能力的形成與發展都起著重要的作用。國內外不少研究者對學生數學技能的發展狀況給予了關注。

國外有關技能形成和發展的研究更多地集中于某一項具體的技能表現，比如估算。不少研究者都認為，估算技能非常難，學生在估算過程中會感到特別困難。這些對數學技能的研究或是討論其功能、或是從其學習條件或過程中的異同的角度展開，較少涉及總體發展狀況的分析。

相比，我國學者的對數學技能的形成和發展研究較為全面。喬連全的研究中認為數學技能的形成具有四個特點：要以一定的學習技能為基礎；關鍵在基礎階段：是一個循序漸進的累積過程：需要學習者良好的思維方法和思維品質(喬連全，2000，P13)。數學技能可以分為操作技能和智力技能，但是兩者是不可分的，關鍵在于某一問題的解決當中，二者所處的地位不同，誰處于主導地位，則可以說某項技能是以誰為主的數學技能而不能簡單劃歸為數學操作技能或數學智力技能。

按照我國心理學家馮忠良教授的研究，一般心智技能的形成分為3個階段，即活動模式定向階段、活動模式操作階段、活動模式內化階段。數學技能，除了具有一般心智技能的操作對象的抽象性，動作執行的內隱性，以及技能的簡縮、跳躍性外，以下一些因素影響著數學技能的掌握與類化。

(一)知識的理解水平

在活動模式定向階段，學生必須掌握與技能有關的數學概念、原理(陳述性知識)，了解操作的依據，明確操作活動的方向：還要掌握法則、方法、步驟(程序性知識)，了解心智動作的構成要素及動作次序，并在頭腦中形成有關活動方式的定向表象，此時，學生如能在2類數學知識之間建立起聯系，就可以在理解的基礎上掌握此技能，相應的程序性知識便成為擴大了的知識結構的一部分，為后續學習產生積極影響。比如，把合并同類項法則與乘法分配律建立聯系，將有利于合并同類二次根式的理解與掌握，這種理解當然是數學教學所希望的，但在實際學習過程中，學生對與技能相關知識的理解方式與理解水平各不相同。

在技能形成的最初階段，按照教材的要求來理解、掌握法則進行技能操作的比例并不大，正如James Hiebert所說，多數學生是按照自己的已有經驗來建構對知識的理解的。學生學習的內容不同，對理解的依附程度也不同。與完成代數技能有關的法則、性質、公式以知識點的面貌出現在教科書中，學生按照識別提取～反應的認知方式完成操作。經過一段時間的訓練后，代數技能可以達到“自動化”的程度(不管理解與否)。幾何推理卻有所不同。有助于形成推理技能的程序性知識(如邏輯證明的方法、證題術等)常常融于幾何證題的過程之中，教科書并沒有明顯給出運用這些方法的準則，學生必須通過自己在做數學的過程中去感受、領悟。由于幾何圖形的多變性和解題策略的靈活性，學生不可能僅憑記憶來掌握推理技能，必須建立在對邏輯證明方法的掌握上，建立在對概念、定理的理解上才能言必有據地進行推理。在實踐中，我們發現，一般情況下，女生的代數成績好于男生，而男生的幾何成績卻好于女生，這可能與不同性別的學生對不同數學內容的理解的依附程度差異性有關。

(二)練習的概括水平

要掌握技能，離不開練習。在活動模式操作階段，學生先通過模仿練習，在感性水平上獲得完備的動作映像和動覺體驗；然后通過變式練習，擴大活動對象的范圍，使相應的活動方式具有概括性。在活動模式內化階段，學生的技能操作離開了老師的示范和語言的直接指導，達到了熟練的程度。具體表現為：(1)心理特征是動作的執行從出聲的外部語言，轉向內潛的內部語言，從清晰地意識到完成活動的每一步驟，發展為不需要特殊的意識控制便能順利進行操作：(2)外顯特征是操作的心智活動過程出現簡縮、跳躍，個體對完成活動的具體方式、理論依據已基本淡化；(3)內隱特征是活動方式在理性水平上具有了概括性，為技能的類化、能力的形成打下基礎。在數學學習中，要使技能熟練掌握，并向能力發展，關鍵在于活動模式的操作階段的質量，以及能否及時地向內化階段轉化。

(三)策略的遷移水平

就智力技能而言，自動化通常被視為技能熟練的一大特征。此時，所進行的活動不需要或很少需要意識控制，可以極大地提高學習效率。然而，對于較復雜的數學技能而言，自動化并非是它的唯一特征，還需要在理性水平上具有概括性。而這種理性概括水平常由認知策略的遷移水平體現出來。

三、我國學生數學技能發展狀況

在實際技能學習過程中，學生通過過操作階段的大量訓練，形成關于某技能的動力定型，一般都能掌握完成某具體活動的具體策略。我國中學生對于數學技能的掌握在熟練、“自動化”方面基本達到要求，但由于缺乏自身的感悟與思考，故在理解程度、概括水平上有所欠缺。概括馮忠良教授的能力類化理論，知識與技能的類化是形成與發展能力的基礎，而理解程度與概括水平則是能否類化的關鍵，這也許是產生高分低能現象的原因之一吧。

四、關于數學基本技能教學的反思

(一)泛化基本技能帶來學生機械性學習的危害

在一線教學實踐中，不乏泛化基本技能的教學例子。

當下，在數學教學評價未進行大的變動的情況下，如果學校和教師過分追求限時考試或練習，將其作為唯一的考核目標和評價手段，這就很可能導致一些教師將基本技能泛化：在限定時間內，忽略對問題初始狀態與目標狀態的差異分析(包括對問題的分析、解決策略的選擇和問題解決后的反思等)，將一些并非基本技能的訓練題作為解決問題的套路和固定程式，試圖使學生模仿和應用，這無疑會增加學生的記憶負擔和學習成本，而且容易導致機械性學習。因此，在教學中加大問題解決過程中的策略性分析(包括對問題本質的分析和認識、問題解塊策略選擇的標準和問題解決后的反思與總結等)是避免將基本技能泛化的一個途徑。

(二)目標的價值取向決定了技能訓練的量和度

毫無疑問，基本技能的獲得需要訓練。但關鍵的問題是訓練的量和度怎樣掌握。

決定這個問題答案的是數學教學目標的價值取向問題。如果單一地將訓練的目的定位于學習結果的測評，學校、教師、學生、家長片面追求短期效益(如高考、中考水平)，那么大運動量的強化訓練就會成為追求這種短期效益的急功近利的不二法門。現在不少的研究成果都表明大運動量的強化訓練容易僵化學生的思維，不利于創新能力的培養。如果著眼于學生學習過程中各方面能力(如質疑精神、創新能力、解決問題的思考角度和思維方式等)的發展，那么這種做法值得商榷。好在教育部《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》的制訂和實施，在一定程度上為數學技能訓練量與度的把握提供了一個比較理想的框架。然而，要達到真正指導于課堂教學，還需要一線教師觀念的轉變和教學措施的具體落實。

(三)科學地運用變式提高技能訓練的質

技能訓練的質應可以從橫縱兩個方向衡量，一，橫向的遷移水平，主要指訓練后的熟練程度；二，縱向的類化水平。變式在提高訓練的質的過程中起著關鍵作用。所謂變式，就是改變問題的非本質特征，保留其本質的結構特征不變。變式訓練的目的在于使學生在訓練過程中把握本質性的內容，這有兩個好處：一，通過變化了非本質特征的題組訓練，使學生熟悉技能的操作程序：二，通過變式訓練，學生在形式變化中把握不變的東西，將程序性知識內化，從而促進技能向縱深方向遷移。科學的變式訓練中，應當給予學生感悟、總結和概括策略、方法的機會，并適時進行數學思想方法的滲透和指導，而不是僅僅停留在純技能訓練的形式表層。