對基于Black-Scholes模型的認股權證定價理論的實證分析

一、引言

上個世紀70年代初期，Black 和 Scholes 通過研究股票價格的變化規律，運用套期保值的思想，成功的推出了無分紅情況下股票期權價格所滿足的隨機偏微分方程。從而為期權的精確合理的定價提供了有利的保障。Black-Scholes模型的推導可以從兩條線索展開而得到相同的結論:1.由Black and Scholes(1973)開創的偏微分方程;2.由Harrison and Kreps(1979)以及Harrison and Pliska(1981)首先提出的鞅方法。雖然二者形式上有所不同，但最后導出的結論完全相同。雖然基于鞅方法已成為衍生金融工具定價的主流手段，但由Black and Scholes首創的偏微分分析方法過程簡單而且直觀，直到今天仍極具深刻的經濟學意義。從數學角度看，該分析思路必須使用隨機過程理論的伊藤定理來求解偏微分方程，最后引入邊界條件得到歐式期權的定價公式，即布萊克-舒爾斯期權定價公式。本文首先對Black-Scholes模型及其在認股權證定價中的運用做了相關思想闡述和公式推導，然后把公式在我國認股權證上海CWB1中進行了實證運用，進而通過對上海CWB1的理論價值和其實際價格作對比，分析了認股權證定價公式的有效性。

二、理論準備

1.Black——Scholes 微分方程的基本假設及構造

(1)Black——Scholes 微分方程用到的基本假設:①無風險債券的利率r為常數，并對所有到期日都相同;②股票價格遵循隨機游走，故股價呈現對數正態分布，其波動率σ2為常數;③股票無股利支付;④股票期權為“歐式”，即只能在到期日執行;⑤無交易費用、稅收和保證金等成本;⑥證券可無限細分并持有;⑦允許賣空。

對于歐式期權而言，可以求得Black——Scholes 微分方程的解析解。而對于美式期權而言，僅能得到Black——Scholes 微分方程的數值解。

(2)Black——Scholes 微分方程的構造。記為在 t 時刻 ，股票價格為S 時的歐式看漲期權價格:可以計算出

或者寫成:

其中， S為當前股價;X為期權執行價格;σ為股票波動率;r是(瞬時)無風險利率;T-t為期權的到期時間;N為累積正態分布函數，其均值為0;標準差為1。

由期權的平價公式:

和正態分布函數的性質:，歐式看跌期權的價值為:

如果當前時刻，計為，則有:

其中

(3)Black__Scholes公式的性質:

①當 時 ;

②當時

(當C為看漲期權);

(當C為看跌期權);

應當強調的一點是:證券組合并不是永遠無風險的，只是對于無限短的時間間隔內，它才是無風險的。因此，為了保持證券組合無風險，有必要連續調整證券組合中衍生證券和股票的比例。

2.認股權證

(1)認股權證定價:期權定價理論的應用。認股權證(以下簡稱權證)屬于一種衍生金融資產，一般具有以下特征:①它本身不是股票，故其持有人不能視作公司的股東;②它一般設定一個有效期，在有效期內持有人才享有認購權;③它規定了認購價格即執行價格，權證持有人只能按執行價格認購股票;④權證本身具有價值，對于投資者是一種投資工具;⑤股份公司可以通過發行權證籌集資金，對于其而言是一種籌資工具;⑥持有人在行使認購權時必須按照權證規定的認股比例執行;⑦它所約定認購的股票一般為普通股;⑧權證一般是股份公司發行股票或債券時附帶發行配送的。

從上述權證特點看出，權證類似于股票看漲期權，因此可以借鑒布萊克—舒爾斯期權定價公式進行定價。但必須注意到期權和權證有一個顯著的不同點:一般認為期權的行使不會影響公司流通的股票總數，而權證的執行會改變公司流通股票的總數進而影響公司的流通股價，即會產生稀釋效應(dilution effect)。現在先從二者的差異入手，再結合布萊克-舒爾斯期權定價公式，導出權證的定價公式。

(2)認股權證定價方程的推導。首先，假設某公司發行的流通股股數為N，在時刻發行M份歐式權證(只能在約定時期執行)，此時股價為，權證價格為W，行權比例為γ，權證到期期限為T， 執行價格為K，股票在整個期限內不支付股利，表示在T時刻公司的權益價值。如果在T時刻持有者行使了認購權，公司有的現金流入，則此時公司的總權益價值為。由于此時公司的總流通股數變為 ，故此時的瞬時股價變為:

(2)此時權證持有者的盈利收入為:

由于權證持有人只會在盈利收入大于零時才行使認購權，故權證持有人的盈利函數為:

根據該盈利函數，可以將一份權證的價值折算為份基于股價為的歐式看漲期權，而其執行價格為X，是公司的權益價值。現在所要求解的就是在時刻W的價值。這樣，就把權證的定價轉為期權的定價。在時刻，公司的權益價值為:

S0為T0時的股價;W為T0時的權證價格，則有:

此時可直接套用上式(1):布萊克—舒爾斯期權定價公式。不過需要注意以下幾點:①需將(1)式中的S替換為;②需將(1)式中的σ替換為整個權益資產的σ(包括股票和權證);③需將(1)式中的結果乘上系數; ④需將(1)式中的X替換為K。

三、認股權證定價的實證分析

現在，通過對認股權證上汽CWB1的實證分析，來比較真實的權證價格與通過Black-Scholes模型調整后的認股權證定價方程所推導出的權證的理論價值的差異，以檢驗認股權證定價方程的有效性，及看該認股權證是否被高估或低估。

1.數據的來源及計算

(1)數據來源。首先，用認股權證定價方程對上汽CWB1在2009年10月9日的權證價值進行計算。根據股城網的資料顯示，上汽CWB1的標的證券為上海汽車(600104)。上海汽車的股票發行量為30000.00萬股，上汽CWB1認股權證的發行數量為22680萬份。2009年10月9日，上海汽車的收盤價為20.41，上汽CWB1的收盤價為4.713。從2009年10月12日到2009年12月30日之間有58天，上海汽車不支付股息。權證的行權價為26.91元，行權比例為1:1。距離到期日的時間58天需轉為年單位，為58/365=0.1598年。以金融機構人民幣一年定期存款基準利率2.25%作為無風險利率。

(2)波動率的計算。由于公司權益資產波動率不能被直接觀測到，在此我們用股票對數收益年標準差來代替。計算如下:

通過上海汽車2005年10月至2009年9月48個月的股票價格月末數據，推算波動率。根據EXCEL計算，得到月對數收益方差=0.033，進而算出:月對數收益年方差=12×0.033=0.396;對數年標準差==0.6293至此我們已算出波動率的估計值 。

2.認股權證理論價值推算

由上述公式及計算可知，N=30000萬股，M=22680萬份，

，W=4.713，T-t=0.1598(年)，， K=26.91，

，r=0.0225 。

設權證的價值為，

經計算得，

則有，

3.實證結果分析

從與 W=4.713對比，權證的價格顯著大于權證的理論價值，說明上汽CWB1的價值被嚴重高估，投資該期權存在高風險。但僅據此下結論非常不嚴謹:

首先，公司權益資產波動率的確定。由于公司權益資產波動率不能被直接觀測到，只能通過尋找可觀測變量進行代換。

另外，無風險利率r的估計。在我國，由于利率尚未實現市場化，很多學者在進行分析時都假定r不變，這樣當然方便了分析推導，但也可能忽略了當r發生重大變化時，對權證定價的顯著影響。

四、結論

綜上所述，在基于Black-Scholes模型對我國的權證進行定價時，一方面需要從基礎理論出發，另一方面需要結合我國證券市場的實際，才能得出有意義的結論。

參考文獻:

[1](美)羅伯特 A 斯特朗著，王振山等譯.衍生產品概論.大連:東北財經大學出版社，2005，2

[2]孫浩中:認股權證投資風險分析:以寶鋼權證為例，[J].南方金融，2006年第1期，55～57頁