函數應用題高考復習指津

應用題是歷年高考命題的主要題型之一，而函數應用題又是高考應用題重要組成部分，也是考生得失分較多的一種題型.考生面對這類問題時表現在實際問題轉化為數學問題的能力比較弱.實際問題轉化為數學問題，關鍵是提高文字閱讀的能力，即數學審題的能力，要求能夠讀懂材料、辨析文字所描述所反映的實際背景，領悟從背景中概括出來的數學實質，抽象其中的數量關系，將文字語言敘述轉譯成數學式符號語言，建立相應的數學模型解答.可以說解答一個函數應用題重點要過三關:第一關:事理關，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力;第二關:文理關，即把文字語言轉化為數學的符號語言;第三關:數理關，即建立相應的數學模型，構建之后需要扎實的數學基礎知識和較強的數理能力.筆者統計了十年來高考的函數應用題，概括為以下六種題型，供大家復習時使用.

題型1:二次函數型應用題

【例1】 生產一定數量商品的全部費用稱為生產成本，某企業一個月生產某種商品x萬件時的生產成本為f(x)=12x2+2x+20(萬元)，每件售價是20元，為獲取最大利潤，該企業一個月應生產多少萬件的產品﹒

分析:該題的等量關系比較清晰:利潤=銷售總額-成本，解答起來也比較容易.

評析:要注意的是在這類問題中，若最值不在區間端點或者頂點取得時，學生往往會忽略定義域和單調區間，望在復習時加以強化.

題型2:分段函數型應用題

【例2】 某廠生產某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元.該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不能低于51元.

(Ⅰ)當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元?

(Ⅱ)設一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數P=f(x)的表達式;

(Ⅲ)當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元?如果訂購1000個，利潤又是多少元?(工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價-成本).

解:(Ⅰ)當一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價恰好降為51元.

(Ⅱ)當0

當100

當x≥550時，P=51.

∴P=f(x)=60(0

(Ⅲ)設銷售商的一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，則有:

L=(P-40)x=20x(0

當x=500時，L=6000;當x=1000時，L=11000.

因此，當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是6000元;如果訂購1000個，利潤是11000元.

評析:本小題主要考查分段函數的基本知識，考查應用數學知識分析問題和解決問題的能力.分段函數以什么來分，是解決問題的關鍵.

題型3:函數y=x+ax(a>0)型應用題

【例3】 某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地上建造一棟至少10層，每層2000平方米的樓房.經測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建造費用為560+48x(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應該建造多少層?(注:平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=購地總費用/建筑總面積)

解:設樓房每平方米的平均綜合費為f(x)元，則依題意有:

f(x)=(560+48x)+2160×100002000x=560+48x+10800x(x≥10，x∈N+)

≥560+248x#8226;10800x=2000.

當且僅當48x=10800x，即x=15時函數f(x)取得最小值2000元.

答:為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為15層.

(若條件改為至少建造20層，這時如何解?)

評析:這種類型的問題是高考的熱點，因為它可以考查學生對函數中的多項式函數、導數、打勾函數問題的熟悉程度.

題型4:高次函數型應用題

【例4】 統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關于行駛速度x(千米/小時)的函數解析式可以表示為:y=1128000x3-380x-8(0

(Ⅰ)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升?

(Ⅱ)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?

解:(Ⅰ)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升.

(Ⅱ)當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了100x小時，設耗油量為h(x)升，

依題意得:

h(x)=(1128000x3-380x+8)×100x=11280x2+800x-154(0

h′(x)=x640-800x2=x3-803640x2(0

令h′(x)=0，得x=80.

當x∈(0，80)時，h′(x)<0，h(x)是減函數;

當x∈(80，120)時，h′(x)>0，h(x)是增函數.

∴當x=80時，h(x)取到極小值h(80)=11.25.

因為h(x)在(0，120]上只有一個極值，所以它是最小值.

所以當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.

題型5:識圖型函數應用題

【例5】 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖1的一條折線表示;西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖2的拋物線段表示.

(Ⅰ)寫出圖1表示的市場售價與時間的函數關系式P=f(t);

寫出圖2表示的種植成本與時間的函數關系式Q=g(t);

(Ⅱ)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大?

(注:市場售價和種植成本的單位:元/102kg，時間單位:天)

解:(Ⅰ)由圖1可得市場售價與時間的函數關系為

f(t)=300-t(0≤t≤200);2t-300(200

由圖2可得種植成本與時間的函數關系為

g(t)=1200(t-150)2+100(0≤t≤300).

(Ⅱ)設t時刻的純收益為h(t)，則由題意得h(t)=f(t)-g(t)，

即h(t)=-1200t2+12t+1752(0≤t≤200);-1200t2+72t-10252(200

當0≤t≤200時，配方整理得h(t)=-1200(t-50)2+100，

所以，當t=50時，h(t)取得區間[0，200]上的最大值100;

當200

所以，當t=300時，h(t)取得區間(200，300)上的最大值87.5.

綜上，由100>87.5可知，h(t)在區間[0，300]上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大.

評析:本小題主要考查由函數圖象建立函數關系式和求函數最大值的問題，考查運用所學知識解決實際問題的能力.

題型6:指數函數型應用題

【例6】 某電器公司生產A種型號的家庭電腦，2003年平均每臺電腦的生產成本為5000元，并以純利潤20%標定出廠價.2004年開始，公司更新設備，加強管理逐年實行股份制，從而使生產成本逐年降低，預計2007年將平均每臺A種型號的家庭電腦盡管出廠價僅是2003年出廠價的80%，但卻實現純利潤50%的高效益.

(1)求2007年每臺電腦的成本;

(2)以2003年生產成本為基數，求2003年至2007年生產成本平均每年降低的百分數.(數據精確到0.01，參考數據:15=2.236，6=2.449)

解:(1)設2007年每臺電腦的成本為p0元，則依題意有:

5000×(1+20%)×80%=p0(1+50%)，解得p0=3200元.

∴2007年每臺電腦的成本為3200元.

(2)設2003年至2007年生產成本平均每年降低的百分數為x，則有:

5000=3200(1-x)4，解得x1=1+52(舍去)或x2=1-52.

所以x=1-52≈0.11=11%.

答:2003年至2007年生產成本平均每年降低的百分數為11%.

解決這六種類型題的關鍵是找到解決函數應用題的突破口——閱讀和翻譯.筆者認為可以從以下四方面入手:

(1)劃分題目的層次.應用題題目篇幅長，信息容量大，涉及知識點多，劃分好層次是審題的關鍵;

(2)領會關鍵詞語.領會定義的內涵和外延是解決問題的關鍵;

(3)重視條件轉譯.準確的條件轉譯是解應用題的關鍵步驟，也是分步解應用題踩點得分原則的具體體現.注意將條件公式化、符號化，使條件和結論相互靠攏.與圖形有關的應用題注意數形結合;

(4)弄清題圖聯系.分清題目條件與圖形元素間的對應關系，也是審題過程中不可缺少的環節.

(責任編輯 金 鈴)