數學課堂應注意數學知識的建構

當今社會最需要的人才是能夠創造性的解決問題的獨立學習者，同時也需要有團隊合作精神的實干者.基于這個目標，國家新一輪教育改革大力提倡探究性的學習方式，即倡導以發展學生獨立自主的探究能力和發展其與團體合作共同創新地解決問題的能力的教學方式.學生的學習過程是其知識的建構過程，在教學時應注意三者的有機建構，培養學生“特殊與一般”、“抽象與具體”和“偶然與必然”等辯證唯物主義思想，及事物矛盾雙方之間的對立，統一和相互轉化的思想觀和方法論，培養其獨立探究能力與團隊合作精神.下面將以兩角和與差的余弦正弦公式為例，談談如何在課堂教學中幫助學生建構數學知識.

師:對于特殊的角，如30°、45°、60°等是可以求其三角函數值的，然而，對于一般的角的函數值，如何求?cos75°=?一般的角是可以轉化為一些特殊的角，75°=45°+30°，而75°角的余弦、正弦函數值與cos30°、cos45°、sin30°、sin45°又是什么關系?一般地，對于任意一個角，若把它分成兩個任意角，那么這三個角的三角函數值又存在什么關系?這就是我們將要探索的問題.首先，一個角的余弦在初中和高中的教材我們分別是怎樣定義的?

生:在初中里的定義是，在直角三角形中，一個角的余弦是等于它的鄰邊長與它斜邊長的比.在高中里定義，以一個角的頂點和其中一邊(為始邊)分別與直角坐標系中的原點和x軸的正半軸重合，在角的另一邊(為終邊)有別于原點的任意取一點的橫坐標與其到原點距離的比.

師:在初中，一個角的余弦局限于直角三角形的銳角，具有一定的特殊性，但是，高中的定義更有一般性，是對初中定義的進一步發展和完善，因此我們應該用發展的觀點看待事物.研究事物的普遍性往往從其特殊性出發，研究復雜問題，須從簡單問題入手.剛才提到的

cos75°=?可先在直角三角形中求，請同學們畫一個75°的直角三角形.

學生畫圖后仍無法求出cos75°的值，這時

教師引導學生把一般角分解:75°=30°+45°或75°=15°+60°.

生:受表象影響，容易選擇兩個都是特殊角的第一個方案.

A生:從邊的關系看，顯然第二種分法科學.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，作BD交AC于D，使得∠DBA=15°，令BC=1，

可得CD=3，BD=AD=2，AB=2(3+1)，cos75°=1/[2(3+1)]=(3/2)#8226;(2/2)-(1/2)#8226;(2/2)=cos30°cos45°+sin30°sin45°.(學生情趣激揚地說用第二種分法(75°=15°+60°)，卻得第一種分法的角的三角函數值表示(75°=45°+30°).)

師:(這點讓我意料不到)75°角兩種分法說明現象與本質的關系，我們分析問題時需透過事物的現象抓住事物本質，也反映事物發展過程的偶然性與必然性.

對于75°的角有cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°，那么cos75°=cos(1°+74°)=cos1°cos74°-sin1°sin74°，cos75°=cos(2°+73°)=cos2°cos73°-sin2°sin73°，…，cos75°=cos(37°+38°)=cos37°cos38°-sin37°sin38°，這些是否都成立?

生:使用電子計算器驗證它們的近似結果，這些等式都成立.

師:實踐出真知，實踐是檢驗真理的唯一標準.對于75°角是這樣，那么對于任意一個角把它分成任意的兩個角它們是否同樣滿足以上關系式?即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ是否成立?首先你們每一位同學各自畫出或用紙剪出一個不同的任意角，然后把這個角分成任意的兩份，用量角器量出這三個角的大小，再使用計算器求出它們各自的正弦和余弦的近似值.(培養學生不輕易迷信權威，敢于提出質疑和善于反思的思維品質.)

師:實踐出真知，而理論又反過來指導實踐，怎樣從理論上來證明它?我們研究的是任意角，需根據公式本身的特點，大家又能聯想到什么?

A生:任意角的三角函數定義.把這兩個任意角放到直角坐標系探究，α+β、α、β三個角之間的關系就與其坐標聯系起來.建立如圖2的直角坐標系，為了簡單地表示使A，B，C，的坐標，選擇了單位圓，得A(1，0)，B(cosα，sinα)，C(cos(α+β)，sin(α+β))，但各點坐標中沒有出現公式中需要的cosβ和sinβ.

師:A點特殊在x軸上，B、C兩點恰好分別是α角和(α+β)角終邊上的點，且這兩角都以x軸為始邊的角，它的坐標由定義直接得出.而β角并不是以x軸為始邊的而是以α角的終邊OB為始邊的，坐標顯然不能由定義直接得出，那么如何使得β角的一邊與x軸正半軸OA重合變為始邊?

A生(恍然大悟):以OA為始邊和OD為終邊反向作一個-β，得D點坐標為(cos(-β)，sin(-β)).

師:你們的想法體現思維的必然性，那怎樣找到這些量的關系呢?

B生:欲得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，需尋找等量關系式，由△AOC≌△DOB可得AC=BD，可是AC、BD各自的長度怎樣和那些坐標聯系?

師:平面上任意兩點的距離與坐標有什么聯系呢?一個點的坐標就是該點到兩坐標軸的距離，距離就涉及到垂直與直角，這讓我們聯想起什么?

C生:建立如圖3的直角坐標系.作AC∥BE∥GF，AF∥BC∥DE，得Rt△ACB，由勾股定理得AB2=BC2+AC2=(xA-xB)2+(yA-yB)2.

D生:用向量模也能求兩點間的距離，如圖3，|AB|=|OA-OB|=(xA-xB)2+(yA-yB)2.

E生:再把等式AC=BD換成(xA-xC)2+(yA-yC)2=(xB-xD)2+(yB-yD)2，再把坐標代入整理得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.獲證.

F生:角的余弦讓我聯想起用向量的數量積的坐標公式來推導兩角和的余弦公式.由圖2可知，cos〈OA，OC〉=cos〈OB，OD〉，∴OA#8226;OC/|OA||OC|=OB#8226;OD/|OB||OD|.因為|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=1，∴OA#8226;OC=OB#8226;OD，∴(1，0)(cos(α+β)，sin(α+β))=(cosα，sinα)(cos(-β)，sin(-β)).∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

G生:使用平面向量知識證明兩角和的余弦公式也簡單，不需要坐標也行.如圖4，AB#8226;AC=(AD+DB)#8226;(AD+DC)=AD2+AD#8226;DC+DB#8226;AD+DB#8226;DC=|AD|2+DB#8226;DC，因為AD⊥DC，AD#8226;DC=0，DB⊥AD，DB#8226;AD=0，DB與DC共線且反向，所以DB=λDC(λ<0，λ∈R).有DB#8226;DC=λDB2=-λ|DB|2=|DB|#8226;|DC|，∴AB#8226;AC=|AD||AD|-|DB||DC|，∴cos(α+β)=AB#8226;AC|AB||AC|=|AD||AD|-|BD||DC||AB||AC|=|AD||AB|#8226;|AD||AC|-|BD||DC||AB||AC|=cosαcosβ-sinαsinβ.

師:同學們的積極創新，使得問題得到多樣性和創造性地解決，兩角和的余弦公式我們已較圓滿地完成它的推導，下一步，求兩角差的余弦cos(α-β).

H生:cos(α-β)=cos[α+(-β)].兩角差轉化為兩角和，再使用兩角和的余弦公式可證得.

I生:如圖2、圖4所示做向量也可求得cos(α-β).

師:差與和、乘與除是事物矛盾的兩個方面，它們在一定條件下是可以相互轉化的，即減去一個數等于加上這個數的相反數，除以這個數等于乘以這個數的倒數，兩角和與差的正弦呢?正弦與余弦又有什么樣轉化關系?

J生:有平方關系，即sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，也有直接轉化關系，sinα=cos(π/2-α)，sin(α+β)=cos[π/2-(α+β)]=…=sinαcosβ+cosαsinβ，即正弦轉化為余弦.

師:從這一點可得出事物的聯系可分為直接聯系和間接聯系，sin(α+β)=cos[π/2-(α+β)]是直接的必然的聯系，sin(α+β)與cos(α+β)是互相制約的.

K生:利用三角形面積公式可求，因為三角形面積公式中有正弦，可先求正弦.如圖4，∵S△ABC=S△ACD+S△ABD，∴|AB||AC|sin(α+β)=|AD||AC|sinβ+sinα#8226;|AB||AD|，兩邊同除以|AB||AC|得sin(α+β)=(|AD|/|AB|)|sinβ+(|AD|/|AC|)sinα，化簡得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.我們可以先求sin(α+β)，然后通過余弦化正弦再求cos(α+β)，不必要按課本的辦法先求余弦，再把正弦轉余弦.

師(學生K這點讓我也始料不到，與課本做法發生根本性變化):不要過于迷信課本的方法唯一，誤認為事物是一成不變的，注意從事物的反面想問題，應像K同學那樣敢于向權威提出質疑.須知真理是在實踐中產生，也是在實踐中不斷的發展、完善且受檢驗的.

經過“路漫漫兮，吾將上下而求索”，學生實現了對兩角和與差的三角函數公式的再創造，他們親身經歷這些知識的具體形成過程，也經歷了觀察、實驗、發現、歸納、猜想和證明(驗證)的思維過程，并通過自己的思維活動獲取知識，做到既獨立思考和又合作交流進行的探究，最后以團隊合作的精神多種形式的創造性地解決了問題.

(責任編輯 金 鈴)