例析向量與解析幾何的交匯問題

向量這幾年時間逐漸成為高考中的重要角色，很多時候向量與解析幾何在一起，成為解析幾何的一部分，但縱觀與向量與解析幾何的問題，不外乎以下幾類。

第一類是可以轉化為平面幾何語言的;第二類是不可以或者轉化比較麻煩;還有一類是平面幾何背景問題，但是我們轉化為用向量來解決比較方便。

對于第一類和第三類，我們常常要進行轉化，或是把向量問題轉化為平面幾何問題，然后用平面幾何的知識和方法解決問題;或是把平面幾何問題轉化為向量問題，借助向量來解決平面幾何問題。比較這兩個方法，用向量來解決有以下優點:免去討論斜率是否存在的問題;但用向量方法同時存在缺點:用向量會涉及到兩個變量，常常會不利于求解。

例題1.已知，是x，y軸正方向的單位向量，設=(x-)+y，=(x+)+y，且滿足||+||=4。

(1)求點P(x，y)的軌跡C的方程。

(2)如果過點Q(0，m)且方向向量為=(1，1)的直線l與點P的軌跡交于A，B兩點，當△AOB的面積取到最大值時，求m的值。

解:(1)∵=(x-)+y，||=(x+)+y，且||+||=4。

∴點P(x，y)到點(，0)，(-，0)的距離之和為4，故點P的軌跡方程為+y=1。

(2)設A(x，y)，B(x，y)依題意直線AB的方程為y=x+m，代入橢圓方程，得5x+8mx+4m-4=0，則x+x=-m，xx=(m-1)。

因此，S=|AB|·d=。

當5-m=m時，即m=±時，S=1。

例題2.已知橢圓的中心在原點，離心率為，一個焦點是F(-m，0)(m是大于0的常數)。

(Ⅰ)求橢圓的方程。

(Ⅱ)設Q是橢圓上的一點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M。若||=2||，求直線l的斜率。

解:(Ⅰ)設所求橢圓方程是+=1(a>b>0)。由已知，得c=m，=，所以a=2m，b=m。故所求的橢圓方程是+=1。

(Ⅱ)設Q(x，y)，直線l:y=k(x+m)，則點M(0，km)。

當=2時，由于F(-m，0)，M(0，km)，由定比分點坐標公式，得x==-，y==km。又因為點Q(-，)在橢圓上，所以+=1，解得k=±2。

當=-2時，x==-2m，y==-km。

于是+=1，解得k=0。故直線l的斜率是0，±2。

例題3.(2004湖南文)如圖，過拋物線x=4y的對稱軸上任一點P(0，m)(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點。設點P分有向線段所成的比為λ，證明:⊥(-λ)。

解:依題意，可設直線AB的方程為y=kx+m，代入拋物線方程x=4y得x-4kx-4m=0①設A、B兩點的坐標分別是(x，y)、(x，y)，則x，x是方程①的兩根。所以xx=-4m。由點P(0，m)分有向線段所成的比為λ，得=0，即λ=-。又因為點Q是點P關于原點的對稱點，故點Q的坐標是(0，-m)，從而=(0，2m)。

-λ=(x，y+m)-λ(x，y+m)

=(x-λx，y-λy+(1-λ)m)··(-λ)

=2m[y-λy+(1-λ)m]

=2m[+·+(1+)n]

=2m(x+x)·

=2m(x+x)·=0。

所以⊥(-λ)。

例題4.若+=5，求x+y的最小值。

解析:構造向量=(，)，=(1，1)。

由·≤||||，得+≤·，

即≥，∴x+y≥。

當且僅當=時，x+y有最小值。

變式:設x是實數，求+的最小值。

解析:∵=，=，

故可設=(x-1，1)，=(5-x，3)。

∴|+|=4，+=||+||≥4。

當=，即x=2時等號成立。

所以當x=2時，+取最小值4。