讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)走進(jìn)高職數(shù)學(xué)課堂

1.什么是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展進(jìn)步，計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件引入教學(xué)后，使數(shù)學(xué)知識(shí)在各個(gè)領(lǐng)域都能得到應(yīng)用，數(shù)學(xué)的地位也發(fā)生著巨大變化。正像馬克思所說:“一門科學(xué)，只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才能達(dá)到完善的地步。”航天飛機(jī)的準(zhǔn)確發(fā)射和成功返回就是通過數(shù)學(xué)模型和方法借助計(jì)算機(jī)的計(jì)算和控制來實(shí)現(xiàn)的，事先需要進(jìn)行大量的模擬，這說明數(shù)學(xué)不僅能搞實(shí)驗(yàn)，而且內(nèi)容是非常豐富和實(shí)際的。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)壳氨M管還沒有一個(gè)比較確切的定義，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)模式也不確定，但開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的目的是明確的。因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)其實(shí)就是:根據(jù)實(shí)際提出問題的特點(diǎn)和要求，經(jīng)過正確的分析后作出合理的假設(shè)，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)建立起數(shù)學(xué)模型，通過計(jì)算機(jī)計(jì)算，得出理想的結(jié)果，即將實(shí)際問題、數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)有機(jī)結(jié)合在一起的過程，稱為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

2.開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)

高職高專教育應(yīng)該以就業(yè)為導(dǎo)向，堅(jiān)持基礎(chǔ)理論教學(xué)以“必需、夠用”為原則，加強(qiáng)學(xué)生生產(chǎn)實(shí)踐教學(xué)。根據(jù)高職高專培養(yǎng)目標(biāo)的要求，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們應(yīng)遵循高職高專教育“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度”和“掌握概念，強(qiáng)化應(yīng)用”的基本原則。為此，我們對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式進(jìn)行改革探索，打破了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，采用“模塊+案例+實(shí)驗(yàn)”的模式，以培養(yǎng)應(yīng)用能力為中心，從而達(dá)到培養(yǎng)目標(biāo)的要求。改革后的教學(xué)要實(shí)現(xiàn)傳授知識(shí)和發(fā)展能力兩方面的教學(xué)目的，能力培養(yǎng)要貫穿教學(xué)全過程。教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生具有比較熟練的基本運(yùn)算能力、自學(xué)能力、綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問題和解決問題的能力。教學(xué)重點(diǎn)要放在“掌握概念，強(qiáng)化應(yīng)用，培養(yǎng)技能”上，讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立使用各種先進(jìn)的計(jì)算工具和信息傳播技術(shù)，來探索解決一些典型數(shù)學(xué)問題的方法。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生動(dòng)腦又動(dòng)手，并使用教學(xué)軟件和編程技術(shù)，解決實(shí)踐中提出的問題，師生共同實(shí)現(xiàn)教學(xué)的總體化目標(biāo)。

3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的發(fā)展和特點(diǎn)[1]

計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，出現(xiàn)了大量的智能化計(jì)算工具軟件，特別是出現(xiàn)了一系列高性能的數(shù)學(xué)軟件包(如Mathematicas、Matlab、Maple Mathcad、Sas、Lingo等)，它不僅保持了數(shù)值計(jì)算功能，而且進(jìn)一步開發(fā)了符號(hào)運(yùn)算的功能。例如它能準(zhǔn)確地進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、求微分、求積分、求解方程組及統(tǒng)計(jì)分析、數(shù)據(jù)擬合、求解線性規(guī)劃等;它的圖形功能(包括動(dòng)畫制作)令人驚嘆不已，使抽象的數(shù)學(xué)在一定程度上變成可以看得見的富于直觀形象，更加啟迪人們思想的“可視化數(shù)學(xué)”;它的高效編程功能，猶如在一張演算紙上書寫公式和求解，語法規(guī)則簡(jiǎn)潔明了，更貼近人的思維方式。

它易學(xué)易用，不要求使用者具有高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，不需要理解公式的證明和推導(dǎo)，不需要學(xué)習(xí)程序語言知識(shí)，也不需要實(shí)用者預(yù)先進(jìn)行算法設(shè)計(jì)和編程技巧訓(xùn)練，只要你將數(shù)學(xué)公式按它的語言規(guī)則輸入計(jì)算機(jī)，即能如你所愿那樣給出該問題的相應(yīng)解。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是讓學(xué)生使用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算、微分運(yùn)算、數(shù)值積分、常微分方程的數(shù)值解、代數(shù)方程組求解、矩陣運(yùn)算、統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析和函數(shù)繪圖等。同時(shí)也可以通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，訓(xùn)練學(xué)生使用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行建模、仿真、計(jì)算及結(jié)果分析等。這是一種“問題解答式與親自動(dòng)手式”教學(xué)方式。

4.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的具體操作

目前，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)通常采用以下數(shù)學(xué)軟件包為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

(1)Mathematica(軟件包)實(shí)驗(yàn)平臺(tái);

(2)MATLAB(軟件包)實(shí)驗(yàn)平臺(tái);

(3)Mathcad(軟件包)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

在具體的實(shí)驗(yàn)操作中，我校采用MATLAB(軟件包)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

(1)在計(jì)算方面，利用MATLAB可計(jì)算定積分:

定積分?蘩f(x)dx的數(shù)值計(jì)算命令為quad(?搖)。使用該命令時(shí)需定義被積函數(shù)，使用格式為quad(f，a，b)。其中，f為所定義的被積函數(shù)名，a和b分別為積分下限和積分上限。

例:數(shù)值計(jì)算求定積分?蘩dx的值。

首先用命令inline(?搖)定義被積函數(shù)f(x)=，然后用命令quad(?搖)計(jì)算定積分值。注意:為了避免當(dāng)x=0時(shí)，被積函數(shù)分母為零發(fā)生錯(cuò)誤，用數(shù)eps(MATLAB中的一個(gè)非常小的常數(shù))代替積分下限零。命令如下:

f=inline(′x.^3./(exp(x)-1)′)

quad(f，eps，5)

兩條命令執(zhí)行后，MATLAB的命令窗口將顯示數(shù)據(jù)ans=4.8999，所以?蘩dx≈4.8999。

注意事項(xiàng):使用inline(?搖)定義被積函數(shù)時(shí)方冪運(yùn)算符(^)和除法運(yùn)算符(/)前一定要加點(diǎn)，即使用“.^”和“./”。

(2)在數(shù)據(jù)擬合方面，利用MATLAB作人口預(yù)測(cè):

據(jù)統(tǒng)計(jì)，上世紀(jì)六十年代世界人口數(shù)據(jù)如下(單位:億):

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)公元2000年世界人口會(huì)超過60億。作出這一預(yù)測(cè)結(jié)果所用的方法就是數(shù)據(jù)擬合方法。

據(jù)人口增長的統(tǒng)計(jì)資料和人口理論，當(dāng)人口總數(shù)N不是很大時(shí)，在不長的時(shí)期內(nèi)，人口增長率與人口數(shù)N成正比，這就是著名的馬爾薩斯人口模型，用微分方程描述為:=bN。

其中，b為人口增長系數(shù)。用分離變量法解常微分方程，得ln N=bt+a，即N(t)=ea+bt。

由此可知，馬爾薩斯模型是人口數(shù)量按指數(shù)函數(shù)遞增的模型。由于指數(shù)函數(shù)表達(dá)式中a和b均未知，需要用人口數(shù)據(jù)來確定。即用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，確定指數(shù)函數(shù)中參數(shù)使指數(shù)函數(shù)與人口數(shù)據(jù)偏差(殘差平方和)盡可能小。下圖是經(jīng)數(shù)所擬合后的指數(shù)函數(shù)圖形與原始數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖的對(duì)比，殘差平方和為3.6974×10。

為了計(jì)算方便，將上式兩邊同取對(duì)數(shù)，還原為ln N=a+bt，令y=ln N或N=ey。

變換后的擬合函數(shù)為:y(t)=a+bt。

由人口數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)(y=ln N)計(jì)算，得下表:

開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課是教育適應(yīng)社會(huì)的需要，是培養(yǎng)實(shí)踐型、應(yīng)用型人才的需要，是辦有特色學(xué)校的需要，在學(xué)校各級(jí)領(lǐng)導(dǎo)的大力支持下，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的開設(shè)將在學(xué)校教學(xué)改革中起到積極的作用。

參考文獻(xiàn):

[1]樹鐵主編數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).高等教育出版社，2003.

[2]李尚志等.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).高等教育出版社，2003.

[3]薛定宇，陳陽泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解.清華大學(xué)出版社，2004.