引入優化因子的GM(1,1)模型及其在旅游客源預測中的應用

摘要:在灰色GM(1，1)預測模型中引入優化因子，通過優化因子的選擇使預測結果與原始數據的平均相對誤差最小，以提高預測精度。將引入優化因子的GM(1，1)模型應用于中國入境旅游客源的預測并與傳統的GM(1，1)模型及文獻中的改進方法相比較，結果表明引入優化因子的GM(1，1)模型有更高的預測精度。

關鍵詞:GM(1，1)模型; 預測; 優化因子;旅游客源

中圖分類號:F59文獻標志碼:A文章編號:1673-291X(2010)15-0168-03

灰色系統理論[1]自1982 年誕生以來，在經濟、管理和工程技術等眾多領域得到廣泛應用。灰色GM(1，1)預測模型是灰色系統理論的核心內容之一，其特點是所需的樣本較少、計算簡單，因而比傳統的預測方法更具優越性。但是，傳統的GM(1，1)模型在某些情況下也存在預測精度低的缺陷，為此許多學者從不同角度提出了對GM(1，1)模型的改進以提高其預測精度與適用范圍。本文在GM(1，1)預測模型中引入優化因子，通過優化因子的選擇使預測結果和原始數據的平均相對誤差最小，以達到提高預測精度的目的。并將引入優化因子的GM(1，1)模型用于中國入境旅游客源的預測，將其預測結果與傳統的GM(1，1)模型及已有文獻中的改進的GM(1，1)模型預測結果比較，引入優化因子的GM(1，1)模型具有更高的預測精度。

一、傳統的GM(1，1)模型

設非負平穩原始數據序列為:

X(0)=(X(0)1，X(0)2，…，X(0)n)

根據X(1)1=X(0)1，X(1)k=X(0)i(k=2，3，…，n)進行一次累加得到累加數據序列:

X(1 )=(X(1)1，X(1)2，…，X(1)n)

假定X(1 )具有指數變化規律，則白化方程為:

+aX (1)=u(1)

其中a，u為待定參數。傳統的GM(1，1)模型采用最小二乘法求得:

au=(BTB)-1BTY (2)

這里:

B=-Z(1)2 1-Z(1)3 1#8226;#8226;#8226;#8226;#8226;#8226;-Z(1)n1， Y=X(0)2X(0)3#8226;#8226;#8226;X(0)n，(3)

其中，Z(1 )=(Z(1)2，Z(1)3，…，Z(1)n)稱為背景值，一般取緊鄰均值，即Z(1)i=0.5(X(1)i-1+X(1)i)，i=2，3，…，n。于是微分方程(1)滿足以X(1)1=X(0)1為初始條件的解:

(1)k=(X(0)1-)e-a(k-1)+k=1，2，3，…n(4)

即為X(1 )的預測公式，由此可得x(0)的預測公式為:

(0)k=(1)k-(1) k-1k=2，3，4，…n(5)

當k≤n時得到原始數據的模擬值，當k>n時得到預測值。

二、引入優化因子的GM(1，1)模型

從GM(1，1)模型中公式(4)可知，模擬和預測精度取決于參數a和u， 而參數a和u的獲得依賴于原始數據和背景值的構造。因此在眾多改進GM(1，1)模型的文獻中，許多文獻從背景值的構造入手以提高模型的預測精度，如文獻[2]采用:

[(k+1)X(1) i-1+(k-1)X(1)i]

來獲得Z(1)i，其中需用試探法得到最佳的k或利用經驗公式;文獻[3]和[4]利用插值和求積公式得到計算背景值的新方法。但筆者通過大量數值試驗發現，上述文獻提出的方法盡管在一定程度上能提高預測的精度，但獲得的參數a和u并沒有達到最優，某些情況下甚至使預測精度降低，例如文獻[2]的方法對非負單調呈指數遞減序列的預測及文獻[4]對非負單調呈指數遞增序列的預測都會降低預測精度。為克服上述缺陷，本文在傳統的GM(1，1)模型引入優化因子λ(-1≤λ≤1)，將背景值的計算改為:

Z(1)i=0.5[(1-λ)X(1)i-1+(1+λ)X(1)i)]，i=2，3，…，n。(6)

為了獲得最佳的優化因子λ，使模擬值與原始數據的平均相對誤差最小，達到提高預測精度的目的，利用MATLAB編寫應用程序來搜索最佳的優化因子λ，具體過程為:

優化因子λ從λ=-1開始，由背景值公式(6)和公式(2)計算出參數a和u，從而得到相應的公式(4)和預測公式(5)，利用預測公式(5)計算得到原始數據的模擬值 (0)及平均相對誤差err=。接下來取步長h=0.001，λ=λ+h，重復上述過程得到相應的模擬值和平均相對誤差，一直進行下去直到λ=1。比較不同的優化因子的平均相對誤差，平均相對誤差最小的即為最佳優化因子。

由最佳的優化因子λ得到相應的參數a，u并獲得相應的預測公式(4)和(5)，稱之為引入優化因子的GM(1，1)模型。

三、引入優化因子的GM(1 ，1)模型用于旅游客源的預測

下面我們將引入優化因子的GM(1，1)模型用于旅游客源的預測，并與傳統的GM(1，1)模型和文獻[2]，[4]給出的改進模型的結果進行比較。根據1999—2007年《中國統計年鑒》的數據，中國1998—2006年的入境旅游人數(見表1)。

根據計算，傳統的GM(1，1)模型(記為方法1)中參數a=-0.141160，u=6.633047，相應的預測公式為:

(0)k=8.201626×e0.141160(k-2) k=2，3，4，…n (7)

文獻[2]中的改進方法(記為方法2)，經計算取k=3，于是背景值計算公式為Z(1)i=(4/6×X(1)i+2/6×X(1) i+1)，參數a=-0.144297，u=6.806506，相應的預測公式為:

(0)k=8.425390×e0.144297(k-2)k=2，3，4，…n(8)

文獻[4]中的改進方法(記為方法3)，經計算比較，選用背景值計算公式為Z(1)i=(39/90×X(1)i+51/90×X(1) i+1)的方法，參數a=-0.139940，u=6.565948，相應的預測公式為:

(0)k=8.115175×e0.139940(k-2)k=2，3，4，…n(9)

本文引入優化因子的GM(1，1)模型(記為方法4)中最佳的優化因子為λ=-0.318，相應的參數a=-0.144150，u=6.7983425及預測公式為:

(0)k=8.414848×e0.144150(k-2)k=2，3，4，…n (10)

四種方法的計算結果(見表2)。

從表2可看出，四種方法的平均相對誤差都較小，除2003年外(2003年因非典的原因造成數據極度異常)的模擬值的相對誤差也較小，這說明GM(1，1)模型用于旅游客源的預測是較好的選擇。同時也發現，在四種方法中本文提出的引入優化因子的GM(1，1)模型的平均相對誤差最小，數據的模擬精度最高，因此用于預測應該具有更好的預測精度。

將四種方法用于預測未來三年的入境旅游人數，根據2008年《中國統計年鑒》的數據，2007年的實際入境旅游人數為26.1097百萬，計算結果(見表3)。

從表3仍可看出，本文提出的引入優化因子的GM(1，1)模型的預測結果的相對誤差最小，說明本文提出的引入優化因子的GM(1，1)模型能有效提高預測精度。

四、結論

本文在GM(1，1)模型中引入優化因子，通過最佳優化因子的選擇獲得平均相對誤差最小的預測公式，使GM(1，1)模型的預測精度得到提高。該方法同時適用于非負單調遞增序列和非負單調遞減序列的模擬與預測，克服了已有文獻中提出的改進方法的缺陷。應用實例也表明該方法具有更高的預測精度。

參考文獻:

[1]鄧聚龍.灰色控制系統[M].武漢:華中工學院出版社，1985.

[2]譚冠軍.GM(1，1)模型的背景值構造方法和應用[J].系統工程理論與實踐，2000，(4):98-103.

[3]李俊峰，戴文戰.基于插值和Newton-Cotes公式的GM(1，1)模型的背景值構造新方法與應用[J].系統工程理論與實踐，2004，

(10):122-126.

[4]邱淑芳，王澤文.灰色GM(1，1)模型背景值計算的改進[J].統計與決策，2007，(2):129-131.

[5]中華人民共和國國家統計局. 1999—2008年中國統計年鑒[K].北京:中國統計出版社，1999-2008.[責任編輯 陳丹丹]