找出中學(xué)數(shù)學(xué)中的思想來

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵著一些具有奠基性作用的數(shù)學(xué)思想。它是在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中逐漸形成的，并對數(shù)學(xué)理論的建立和完善產(chǎn)生過深遠(yuǎn)的影響。深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究具有重大的意義。下面我談?wù)勛约涸趲啄陻?shù)學(xué)教學(xué)研究中對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識。

一、集合思想

集合是具有共同屬性的一些事物的整體。集合論是近代數(shù)學(xué)的最基本的理論。運(yùn)用集合論來解決數(shù)學(xué)問題的思想就是集合思想。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，不等式的解集就是滿足不等式的所有實(shí)數(shù)的集合。解方程組和不等式組運(yùn)用了交集的概念，作加法可以說是運(yùn)用了并集的概念，將有理數(shù)或?qū)崝?shù)進(jìn)行分類，實(shí)際上運(yùn)用了子集的概念。初中數(shù)學(xué)的不少章節(jié)都蘊(yùn)涵著集合思想，集合思想已成為數(shù)學(xué)思想的基石，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用。

二、對應(yīng)思想

對應(yīng)思想本質(zhì)上反映了兩個(gè)集合的元素與元素之間的某種對應(yīng)關(guān)系，當(dāng)兩個(gè)集合建立了某種對應(yīng)時(shí)，這兩個(gè)集合的元素和元素就發(fā)生了某種對應(yīng)關(guān)系，運(yùn)用兩個(gè)集合元素之間的對應(yīng)關(guān)系來處理數(shù)學(xué)問題的思想就是對應(yīng)思想。在初中數(shù)學(xué)中，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)有一一對應(yīng)關(guān)系，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對具有一一對應(yīng)關(guān)系，函數(shù)自變量與因變量之間具有對應(yīng)關(guān)系，這都是運(yùn)用了對應(yīng)思想。

三、函數(shù)與方程思想

函數(shù)描述了自然界中量與量之間的某種依存關(guān)系，反映了一事物隨另一事物的變化而變化的客觀規(guī)律。在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常要抽象出問題的數(shù)學(xué)特征，建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，再利用該函數(shù)的性質(zhì)來達(dá)到解決問題的目的。這種通過建立函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)來解決數(shù)學(xué)問題的思想就是函數(shù)思想。集合思想是函數(shù)思想的基礎(chǔ)，對應(yīng)思想是函數(shù)思想的本質(zhì)。方程是含有未知數(shù)和已知數(shù)的等式，任何一個(gè)聯(lián)系生產(chǎn)和生活的數(shù)學(xué)問題，都有已知和未知兩種情況，把已知和未知間的關(guān)系通過方程表達(dá)出來，再利用解方程的方法求得未知，這就是方程思想。方程是初中代數(shù)的核心，而函數(shù)是高中代數(shù)的主要組成部分，方程問題也可用函數(shù)思想去解決，而許多函數(shù)問題也可用方程的思想去解決。

四、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)和形本來就具有密切的聯(lián)系，數(shù)量關(guān)系常常有它的幾何意義，幾何圖形的大小和形狀常用數(shù)量和數(shù)學(xué)關(guān)系來表示。因此，我們在研究數(shù)量關(guān)系時(shí)往往聯(lián)系到圖形，在研究圖形時(shí)，常常將其數(shù)量化，使數(shù)量關(guān)系和對應(yīng)的圖形結(jié)合起來，這就是數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用廣泛，并對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的作用和深遠(yuǎn)的影響。笛卡爾發(fā)明坐標(biāo)系這一數(shù)學(xué)工具，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何圖形，使問題變得直觀，特點(diǎn)變得鮮明突出，從而易于找到解法。因此，數(shù)形結(jié)合思想為數(shù)學(xué)問題的解決開辟了一條新的途徑。

五、分類思想

當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問題難以解決時(shí)，有時(shí)可按照某一標(biāo)準(zhǔn)把這個(gè)問題分成若干種不同的情況，然后對每種情況分別進(jìn)行討論，這種解決數(shù)學(xué)問題的思想就是分類思想。運(yùn)用分類思想處理數(shù)學(xué)問題時(shí)要注意兩點(diǎn):一是不能遺漏;二是不能重復(fù)。分類思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是很廣泛的，對解決某些問題具有顯著的作用。在概念教學(xué)中，為了明確概念的外延，常常要運(yùn)用分類思想對概念進(jìn)行分類，比如對三角形、四邊形、多邊形、方程、函數(shù)進(jìn)行分類;在平面幾何中研究直線和直線、點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，運(yùn)用了分類思想;在研究函數(shù)時(shí)分成一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，進(jìn)行分類研究。總之，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常要用到分類思想。

六、統(tǒng)計(jì)思想

利用樣本的特征來估計(jì)總體的特征，從局部的性質(zhì)來估計(jì)整體的性質(zhì)，通過對數(shù)據(jù)的描述和整理尋找規(guī)律，從偶然中尋找必然，從現(xiàn)象中尋找本質(zhì)，這種處理數(shù)學(xué)問題的思想就是抽樣統(tǒng)計(jì)思想，簡稱統(tǒng)計(jì)思想。運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思想來處理問題，關(guān)鍵是抽樣的科學(xué)性，即樣本的代表性。這種思想在科技領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、質(zhì)量檢驗(yàn)以及教育評估等各個(gè)方面都具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用。

七、轉(zhuǎn)化思想

客觀事物總是在不斷變化的，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)化，反映在數(shù)學(xué)上，就是轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想的核心，其內(nèi)涵十分豐富。高維向低維轉(zhuǎn)化、復(fù)雜向簡單轉(zhuǎn)化、抽象向直觀轉(zhuǎn)化、多元向一元轉(zhuǎn)化、高次向低次轉(zhuǎn)化、未知向已知轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、一般與特殊的轉(zhuǎn)化，在數(shù)學(xué)中無時(shí)不有、無處不在。轉(zhuǎn)化思想貫穿于各級各類教材的始終，貫穿于解題過程中，是最重要、應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)思想之一。

運(yùn)用集合思想、對應(yīng)思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、統(tǒng)計(jì)思想、轉(zhuǎn)化思想，去處理問題，其目的是完成復(fù)雜向簡單、抽象向直觀、未知向已知的轉(zhuǎn)化。同時(shí)，從學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論可知，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是認(rèn)知的過程，其實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展變化的過程，我們所說的轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想的核心和靈魂。

這些基本的數(shù)學(xué)思想相互聯(lián)系，形成了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)思想體系。它對認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展起著重要的作用，是把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。由于它比數(shù)學(xué)知識更抽象、更概括，學(xué)生難以從教材中獨(dú)立獲取，因而，教師對數(shù)學(xué)思想的教學(xué)應(yīng)予以高度重視，使學(xué)生在教師的引導(dǎo)下逐步感受、領(lǐng)悟、理解并掌握數(shù)學(xué)思想。