歐式看跌期權價格的計算方法:計算機模擬與比較
2010-12-31 00:00:00代維
金融經濟 2010年9期
摘要:根據在實際金融市場中的例子，本文計算了其在Black-choles方程下的歐式看跌期權的價格，給出了Monte Carlo隨機模擬方法計算該期權的價格，通過計算機模擬程序給出結果。隨后，又給出有限差分定價法顯示法計算了該期權價格。最終，對幾種計算方法進行了優劣比較與改進。
關鍵詞:歐式看跌期權;Black-choles公式;Monte Carlo隨機模擬;有限差分定價法;計算方法比較
一、Black-choles計算公式下的歐式看跌期權
通過假設股票價格的對數隨機過程并構造出包含期權和標的資產的對沖組合，我們得到歐式看跌期權定價公式:
P=PV*N-d2-*N-d);[Y])
其中d=[X]In/PV)σ[)][X]+
[X]σ[)]2[X]，
d2=d-σ[)]，[Y]2)
PV=e-r，[Y]3)
P為看跌期權的價格，r為 時期的無風險利率連續復利，為股票的現在價格，為到期的時間單位:年，為執行價， PV為執行價格的現值，δ為股票收益的年標準方差。 N*為標準正態變量的概率分布函數。
2具體實例:
已知股票價格為=00元，股票收益的年標準方差σ=0.5， 無風險利率連續復利r為4%，期權執行價格為95元，到期的時間單位:年為0.5年，試計算該股票的歐式看跌期權價格。
由上面的B-公式立即可得該期權價格為0.3798元。
二、MONE-CARO方法模擬期權定價
如果標的資產服從幾何布朗運動
ds=udt+σdw[Y]4)
那么風險中性定價的關鍵在于尋找風險中性測度，對于幾何布朗運動，可以證明風險中性測度下，標的資產運動過程如下:
=0exp[r-σ∧2/2)*+σ[)]ε][Y]5)
對于歐式看跌期權，到期日看跌期權現金流如下:
max{0，-0)er-σ∧2/2)*+σt[)]ε}[Y]6)
其中，是執行價，r是無風險利率，σ是標準差，ε是正態分布的隨機變量。
對到期日的現金流進行無風險利率貼現，就可以知道期權的價格。
2期權定價的計算機模擬程序
我們使用MAAB2009A進行模擬，有如下模擬程序:
functionPut=Monte Carlo ，，r，，sigma，Nu)
randn‘seed’，0);
nu=r-0.5*sigma^2)*;
sit=sigma*sqrt);
discpayoff=exp-r*)*max0，-*expnu+sit*randnNu，))-;
[eucall，var，ci]=normfitdiscpayoff)
這里，是股票價格，是執行價，r是無風險利率，sigma是股票波動的標準差，是到期時間，Nu是模擬的次數，eucall是歐式看跌期權的價格，var是模擬期權價格的方差，ci是95%的置信區間。
3該具體例子的應用。
我們調用子程序可得歐式看跌期權的價格。
Monte Carlo00，95，0.04，0.5，0.5，000)
我們得到:eucall=.483
var=4.583
ci=0.2435
2.053
從上面的結果可看到，MONE CARO 模擬得到的期權價格為.483元 ，樣本正態擬合的方差為4.583元 ，95%的置信區間為[0.2435，2.053]，模擬波動區間是很大的。
三、有限差分法顯示差分法的歐式看跌期權定價
假設fi，j表示在i時刻股票價格為第j價位的期權價格，對f 一階導數進行如下差分:
[X]f[X]=[X]fi，j+-fi，jδ[X][Y]7)
[X]ft[X]=[X]fi+，j-fi，jδt[X][Y]8)
對二階微分方程，用如下方法進行差分:
[X]2f2[X]=[X]fi，j+-fi，jδ[X]-[X]fi，j-fi，j-δ[X])/δ[Y]9)
整理得:
[X]2f2[X]=[X]fi，j+-fi，j--2fi，jδ2[X][Y]0)
代入B-公式
[X]ft[X]t，s)+[X]2[X]σ2s2[X]2fs2[X]t，s)-rft，s)+rsft，s)=0，0≤t≤并整理得
fi，j=aj*fi，j-+bj*fi，j+cj*fi，j+
i=0，，2…N-;j=，2，3…m-;[Y]3)
其中
a*j=[X]2[X]δtσ2j2-rj)[Y]4)
b*j=-δtσ2j2+rj)[Y]5)
c*j=[X]2[X]δtσ2j2+rj)[Y]6)
將3式寫成矩陣形式
fN-，m-
fN-，m-2
fN-，m-3
…
fN-，2
fN-，
c*M-b*M-a*M-0…0
0c*M-2b*M-2a*M-2…0
00cM-3b*M-3a*M-30
000c*M-4b*M-4a*M-4
………………
000c*
fN，M-
fN，M-2
fN，M-3
…
fN，
fN，0
對于歐式看跌期權，其終值條件如下:
f，)=max{-，0}，對任意>0;
考慮歐式看跌期權的邊界條件，當股票價格非常大時，看跌期權到期日價值為0，
ft，max)=0;當t=0時，那么到期日支付價值為，貼現到t期有ft，0)=e-r-t)，
邊界條件可以寫成如下形式:
fi，M=0i=，2…N;[Y]7
fi，0=e-r-t)i=0，，2…N;[Y]8
fN，j=max-jδ，0)， j=0，，2…M;[Y]9
仍用上面的例子，根據以上算法通過MAAB編程模擬得到該股票的歐式看跌期權價格為0.4元。
四、兩種計算機模擬方法與B-公式的比較
通過計算機模擬結果，發現誤差分別為E有限=0.4-0.38=0.03元，誤差較小，有限差分法較為精確;
EMONE CARO=.5-0.38=0.77元，相對有限差分定價法，誤差較大，MONE CARO法在次數模擬少的情況下不太精確;
2我們對MONE CARO方法進行改進，增加模擬次數至0000次，得結果如下:
Monte Carlo00，95，0.04，0.5，0.5，0000)
eucall =0.4274
var =4.3747
ci =0.3383
0.565
此時，EMONE CARO=0.42-0.38=0.04元可以發現隨著模擬次數增多，模擬值與公式值越接近，越來越準確。
參考文獻:
[1] 數理金融分析-基礎原理方法[M]，張永林，經濟科學出版社，2007年2月
[2] 金融數學教程[M]，英)Alison Etheridge 著，張寄洲等 譯，人民郵電出版社，2006年8月
作者單位:南京財經大學應用數學學院
