如何從問題情境中抽象出數學本質

[摘要] 新課改下的新教材，打破了傳統(tǒng)教材“掐頭去尾燒中段”的知識呈現方式，而采用了情境教學法，即從學生熟悉的問題情境入手，要求對情境做出分析、思考、抽象、概括，從而得出一個數學的概念、定理、公式等。但是在實際的教學中，情境的創(chuàng)設有時仍流于形式，數學仍是空洞抽象的數學，以至于學生對較抽象的數學概念理解不透，造成以后的解題連連出錯。本文想就如何從問題情境中抽象出數學本質談一點看法。

[關鍵詞] 問題情境抽象數學本質

新課改下的新教材，采用了情境教學法，打破了傳統(tǒng)教材“掐頭去尾燒中段”的知識呈現方式，即從學生熟悉的問題情境人手，要求對情境做出分析、思考、抽象、概括，從而得出一個數學的概念、定理、公式等。理論上，應是情境創(chuàng)設討論的如火如荼，數學本質把握的精準無誤，但是在實際的教學中，情境的創(chuàng)設有時仍流于形式，情境是情境，數學是數學，呈現完情境，就給出數學，情境是真實可感的情境，數學仍是空洞抽象的數學。學生沒有親歷、沒有感悟由情境到數學的過程，或者創(chuàng)設的情境本身就與數學本質有偏差，以至于學生對較抽象的數學概念理解不透，造成以后的解題連連出錯。鑒于此，本文想就如何從問題情境中抽象出數學本質談一點看法。

要從問題情境中精準地抽象出數學本質，應從以下兩個方面下工夫。

一、創(chuàng)設恰當的問題情境

1.問題情境及創(chuàng)設原則

數學情境是一種激發(fā)學生問題意識為價值取向的刺激性數據材料和背景信息，是從事數學活動環(huán)境產生數學行為的條件。

數學問題情境創(chuàng)設的原則有兩條：一個是與學生的生活經驗有關，適合做數學與學生經驗之間的接口。它可以是生活中的，也可以是數學內部的；可以是現代的，也可以是歷史的。總之，它應該是學生熟悉的，并且是與數學概念相符的。另一個是能成為學生應用數學和作出創(chuàng)新、發(fā)現的載體。這就要求我們認真研究教材，查閱解讀概念的資料，搜集相關的題目，把握可能的出題方向，搞清概念的來龍去脈，即這一概念源于什么，又應用于哪里。也就是說問題情境不僅僅是熟知的東西，而更在與它對數學本質的承載。

在引人集合的概念時，課本上創(chuàng)設了這樣的情境：“藍藍的天空中，一群鳥在歡快地飛翔；茫茫的草原上，一群羊在悠閑地走動；清澈的湖水里，一群魚在自由地游泳。”這樣的情境熟悉而優(yōu)美，不僅一下就激起學生學習的欲望，更在于這里的“鳥群”、“羊群”、“魚群”都是“同一類對象匯集在一起”，承載了“集合”這一概念的數學本質。在引入導數的概念時，章節(jié)前的圖片展示了游樂場過山車的運動情境，好玩、刺激，一下就抓住了學生的注意力，而且，其中位移的變化、速度的變化、曲線的上升與下降等都蘊涵了以變化與運動為立意的導數的實質，這樣的問題情境可謂創(chuàng)設得十分巧妙。

2.問題情境的作用

一個好的問題情境對于理解新的數學概念、形成新的數學原理、產生新的數學公式及蘊含新的數學思想會有積極的促進作用；它能夠充分調動起學生原有的生活經驗或數學背景，更能激發(fā)起由情境引起的數學意義的思考，從而讓學生有機會經歷“問題情境——建立模型——解釋或應用”這一重要的數學活動過程。一個比較好的數學問題情境還應該具有衍生性，也就是通過這個情境能夠產生一連串、環(huán)環(huán)相扣、由淺人深的問題，這就是說好的問題情境并非開場鑼鼓，而應是戲的本身。

絕大多數的數學問題有與之匹配的情境，但是需要注意的是有些問題卻不好創(chuàng)設情境，華東師范大學的張奠宙教授說：“直到現在還沒有發(fā)現負負得正的情境例”(2006年4月7日，在《數學教育在爭論中前進》)。

二、剝去不同情境的表象差異，凸顯它們共同的數學本質

1.問題情境與數學本質的關系

問題情境，無論是優(yōu)美迷人，還是刺激好玩，情境總歸還是情境，它只起到一個載體的作用，學習數學概念才是真正的目的。我們不能停留于各個具體的例子，特別是不能停留于學生已有的知識和經驗，而應努力幫助學生由具體實例上升到抽象的數學概念。而數學概念所反映的不只是某一特定事物或現象的量性特征，而是一類事物或現象在量和性的共性。

2.如何幫助學生很好地實現“抽象”

我們先看一個有趣的例子：一個數學家的女兒由幼兒園放學回到了家中，父親問她今天學到了什么?女兒高興地回答道：“我們今天學了‘集合’。”數學家覺得要學習這樣一個高度抽象的數學概念，女兒的年齡實在太小了。就關切地問道：“你懂嗎?”女兒肯定地回答道：“懂，一點也不難。”這樣抽象的概念會這樣容易懂嗎?聽了女兒的回答，作為數學家的父親仍然放心不下，因此追問道：“你們的老師是怎么教你們的?”女兒回答道：“女老師首先讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合；然后，她又讓所有的女孩子站起來，并說這是女孩子的集合，接下來，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合等等。最后老師問全班‘大家是否都懂了?’我們說‘懂了。”’

顯然，這個老師所采用的教學方法并沒有什么問題，甚至可以說相當不錯。因此，父親就決定用以下的問題作為最后的檢驗：“那么，我們是否可以將世界上所有的土豆組成一個集合?”遲疑了一會兒，女兒最終作出了這樣的回答：“不行!除非它們都能站起來!

這說明什么呢?在一組情境呈現之后，我們要想從情境中抽象出數學本質，必須要“去情境化、去時間化和去個性化”，將比較、篩選、抽象三者與現實原型在一定程度上實現分離。

“比較出真知”。問題情境呈現給學生的信息是多方面的，學生在利用自己的生活經驗及理解力對數學概念作出一種解讀，而我們的目的是讓學生們理解并接受一個數學概念。這個小女孩從中提取了這樣的信息：“能站起來的就是集合”，說不定另外一個孩子就理解為“孩子們就是集合，而土豆不是孩子，所以不能構成集合。”如果這位老師能接著對幾個問題情境進行分析、比較、再舉例，去掉“站和孩子們”的差異，就不會出現上述情境。又如，在引入導數的概念時，給出了兩個具體的情境例，一個是平均速度在時間差不斷減小時逼近瞬時速度，一個是割線的斜率在距離不斷減小時逼近切線的斜率，一個是數學外部的，一個是數學內部的，只有通過比較，剝去速度和割線的不同，篩選出逼近的思想方法，才能抽象出導數的實質。在集合的教學時，情境呈現以后，要讓同學充分地思考、討論、比較、篩選，從而能夠去掉情景“藍藍的天空中，一群鳥在歡快地飛翔；茫茫的草原上，一群羊在悠閑地走動；清澈的湖水里，一群魚在自由地游泳”中的優(yōu)美意境和生動形象，抽象出“鳥群”、“羊群”、“魚群”這些在一定范圍內確定的、不同的對象的全體。

多數數學概念的學習，都要借助于有效的情境深入理解概念的本質，不能將它作為一種規(guī)則和步驟，強調幾個注意點、易錯點就了事，只要學生學過某個概念，就要讓這個概念在學生的大腦里留下深刻的印象，這樣在生活中遇到相關的情境時，就能想到這一概念。只有這樣，學生才能學到有血有肉、有靈魂的數學；也只有這樣，學生才能真正地理解、掌握數學，并能自覺地去應用數學。