論多元微分學(xué)中重要概念之間的相互關(guān)系
2010-12-31 00:00:00姚宗靜余強
現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè) 2010年9期
摘 要:總結(jié)有關(guān)多元函數(shù)微分學(xué)中幾個重要概念的關(guān)系，通過理論或反例驗證多元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微等概念之間的關(guān)系，對有效的理解和掌握多元微分學(xué)起到重要作用。
關(guān)鍵詞:連續(xù);偏導(dǎo)數(shù);可微分
中圖分類號:O172
文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A
文章編號:1672-3198(2010)09-0211-01
1 問題的提出
多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣，學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分學(xué)，一定要弄清連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分之間的關(guān)系，才能更好地掌握和使用這些基本概念。本文通過作者幾年的教學(xué)實踐經(jīng)驗，以二元函數(shù)為例，總結(jié)和完善了多元微分學(xué)幾個概念間的關(guān)系和實例說明，以便給廣大教師提供更有價值的參考，同時若能給正在學(xué)習(xí)的新生和正在考研的學(xué)生以點撥，將會起到很大的效果。
2 幾個重要概念間的相互關(guān)系及其反例
本節(jié)首先對教材中的結(jié)果，以定理的形式加以總結(jié)，使結(jié)論更加簡潔明了。并以推論的形式給出了二元函數(shù)在點(x0，y0)處連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微間的關(guān)系，并給出具有代表性的例子以驗證推論的正確性，使結(jié)果更加具有說服力。
定理1若函數(shù)z=f(x，y)在點(x，y)處可微，則函數(shù)z=f(x，y)在點(x，y)處
(1)連續(xù);
(2)偏導(dǎo)數(shù)存在，且dz=zxdx+zydy
說明:這個定理給出了全微分存在的必要條件，作為教材上的結(jié)果，本文不再加以證明。與一元函數(shù)不同，這些條件都不是充分條件。由此得到以下七個推論:
推論1:對多元函數(shù)，連續(xù)未必偏導(dǎo)數(shù)存在，從而也未必可微。
反例:函數(shù)f(x，y)=|x|，在(0，0)點顯然連續(xù)，但fx(0，0)卻不存在。
推論2:對多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在未必連續(xù)。
例如:函數(shù)
f(x，y)=xyx2+y2，x2+y2≠00，x2+y2=0
依定義知在(0，0)處，fx(0，0)=fy(0，0)=0但函數(shù)在該點處并不連續(xù).
推論3:偏導(dǎo)數(shù)存在未必可微。
例如:函數(shù)
f(x，y)=xyx2+y2 x2+y2≠00 x2+y2=0
依定義知在(0，0)處，fx(0，0)=fy(0，0)=0但函數(shù)在該點處并不可微。說明如下:
Δz-[fx(0，0)#8226;Δx+fy(0，0)#8226;Δy]=Δx#8226;Δy(Δx)2+(Δy)2)，
P′(Δx，Δy)如果考慮點沿著直線y=x趨近于(0，0)，則
Δx#8226;Δy(Δx)2+(Δy)2ρ=Δx#8226;Δx(Δx)2+(Δx)2=12，
說明它不能隨著ρ→0而趨于0，當(dāng)ρ→0時
Δz-[fx(0，0)#8226;Δx+fy(0，0)#8226;Δy]≠O(ρ)，
因此函數(shù)在點(0，0)處不可微。
盡管偏導(dǎo)數(shù)存在未必可微，但在偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)的時候函數(shù)一定可微。即
定理2:若函數(shù)z=f(x，y)在點(x，y)處偏導(dǎo)數(shù)存在且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)z=f(x，y)在點(x，y)處一定可微。
推論4:函數(shù)f(x，y0)在點x=x0連續(xù)，函數(shù)f(x0，y)在點y=y0也連續(xù)，但函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)不一定連續(xù)。
例如:f(x，y)=0 xy≠01 xy=0.在原點就是這樣。
3 結(jié)束語
正是因為由函數(shù)在某個方向上的極限存在性，并不能推出其二重極限的存在性，導(dǎo)致了二元函數(shù)諸多關(guān)系的復(fù)雜性。事實上，關(guān)于二元函數(shù)在點(x0，y0)處極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微、方向?qū)?shù)間的關(guān)系，可以看到反例的討論基本都在轉(zhuǎn)折點(特殊點)處。這與我們所學(xué)知識是依存的，在學(xué)習(xí)每個概念的初始階段，我們都在強調(diào)，對于特殊點處的性質(zhì)，只能按照定義去進(jìn)行討論，因特殊點處是最容易出現(xiàn)以外的地方。
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