例談“數量積”在立體幾何中的妙用

〔關鍵詞〕 立體幾何;向量;數量積;角度;

距離

〔中圖分類號〕 G633.63

〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463(2010)

07(A)—0040—02

高中數學教材引入“向量”，其目的是為研究函數、空間圖形提供新的工具，即為了充分體現它的工具性功能.但這種“工具性”，只有在深刻理解的基礎上才能用好.而要想用活，這又需要教師在實踐中不斷開發學生新的認識，豐富其知識網絡，使其形成較完善的“認知模塊”和“知識體系”.例如，全日制普通高級中學教科書《數學》第二冊(下)P33中，關于空間向量的數量積有這樣三條性質:(1)■⊥■?圳■·■=0，(2)|■|2=■·■，(3)■·■=|■|cos<■，■>.

作為“工具性”，性質(1)(2)比較明顯，會立即得到充分的應用.對于性質(3)，在空間問題中的“三大角度”和“三大基本距離”的坐標法的研究中有著奇妙無窮的用途，并帶來意想不到的“知識鏈”反應，極大地豐富了關于空間向量的“數量積”這一運算的“認知模塊”的內涵.本文便梳理和證明這一認知.

一、性質的產生與內涵

如圖1所示，已知向量■=■和軸l，■是l上與l同方向的單位向量.作點A在l上的射影A′，作點B在l上的射影B′，則■叫做向量■在軸l上或在■方向上的正射影，簡稱射影.可以證明得，A′B′=|■|·cos<■，■>=■·■(證明略).此性質的內涵有四點:①其結果是一個數量(本身含正負號);②其正負號由向量■與■所成角的范圍決定;③加上絕對值，|A′B′|=|■·■|便是一條線段的長度(這里|A′B′|、|■|剛好組成一個直角三角形的兩條直角邊);④可以推廣為求一條線段在另一條直線上的正射影.

二 、性質的“知識鏈”

對教材中引進空間向量的“坐標法”來解決空間中的“三大角”問題，學生很容易理解，可操作性強!但由于學生對這一知識點掌握時的漸進性認知特點，導致知識鏈中出現斷點，因此在實際應用時，仍是生硬、呆板，甚至張冠李戴，從而使學生的認知結構里，這一性質未能如愿地系統化.那么，這一性質是怎樣與相關問題產生“對接或聯系”的呢?

1. 它是空間三大角(即線線角、線面角、二面角的平面角)用向量法求解的“對接點”

1.1 線線角?琢(?琢∈[0，■])的求法的新認知:(如圖2、3、4所示)我們把兩條直線賦予恰當的兩個向量，問題就化歸為兩個向量的夾角(兩個向量所成的角的范圍為[0，π])，即cos?琢=|cos<■，■>|=|■|=■.我們能否重新認識這個公式呢?

cos?琢=■=■，此時OB1可以看作是■與■方向上的單位向量■的數量積■·■(其中■=■)，這就是由數量積這條性質滋生而成的.故此結論重新可以理解為:cos?琢=■(這里剛好滿足三角函數中余弦的定義:鄰邊比斜邊).

1.2 線面角θ(θ∈[0，■])的求法的新認識:如圖5所示，sinθ=|cos<■，■>|=■(其中■為平面?琢的一個法向量).此結論重新可以理解為:sinθ=■=■，此時OP又可以看作是■在■上的投影，即■與■方向上的單位向量■的數量積■·■(其中■=■)，故sinθ=■(這里剛好滿足三角函數中正弦的定義:對邊比斜邊).

1.3 二面角的平面角θ(θ∈[0，π])的求法的新認識:如圖6所示，|cosθ|=|cos<■1，■2>|=■(其中■1與■2分別是兩二面角所在平面的法向量).此結論重新可以理解為:|cosθ|=■=■(這里剛好滿足三角函數中余弦的定義:鄰邊比斜邊).

★三大角的統一理解:cos?琢=■，sinθ=■，|cosθ|=■=■.

從上述梳理完全可以看出其本質特征:這里的“空間角”的求法，完全與直角三角形中的三角函數的“正弦或余弦的定義”發生了對接——對邊或鄰邊就是斜邊的向量在此邊向量上的投影，即斜邊向量與對邊或鄰邊方向上的單位向量的數量積.而理解與掌握這里的“空間角”的直角三角形的構圖，學生完全可以達到“系統化”和“自主化”，因為直角三角形中的三角函數定義，他們太熟悉了!即將知識的“生長點”建立在學生認知水平的“最近發展區”，那學生的學習就會水到渠成!

2. 它又是空間三大距離(即點線距、點面距、異面直線距)用向量法求解的“聯系點”

空間中有七大距離(除球面上兩點間的距離外)基本上可轉化為點點距、點線距、點面距，而點線距和點面距又是重中之重!另外，兩異面直線間的距離，高考考綱中明確要求:對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線或在坐標表示下的距離.教材中引進了向量法來解決距離問題，給問題的解決帶來了新的活力!因為不用作出(或找出)所求的距離了.

2.1 點面距求法的新認識:如圖7所示，d=|■|=|■|·sinθ=|■|■=■(其中■為平面?琢的一個法向量).此結論重新可以理解為:d=|■·■|，即■在■上的投影，即■與■方向上的單位向量■的數量積為■·■(其中■=■).

2.2 點線距求法的新認識:

(1)新認識之一:如圖8所示，若存在一條與l相交的直線時，就可以先求出這兩條相交直線確定的平面的一個法向量■，則點P到l的距離d=|■·■|.

(2)新認識之二:若不存在一條與l相交的直線時，我們可以先取l上的一個向量■，再利用|■|2

=|■|2-|■|2來解，即:d2=|■|2-|■|2，而數量OA可以理解為■在l上的向量■的投影，也即為:|■|=|■·■|.

2.3 異面直線間距離求法的新認識:對這幾年的《高考考綱說明》進行分析，我們不難發現，對異面直線間距離的考查一般不能太難，但若出現難一點的考題，命題者又能自圓其說.實際上，這種自圓其說歸根到底是高考考綱中的說法:只要求會計算已給出公垂線或在坐標表示下的距離.也就是說，在不作出公垂線(也許學生作不出)的情況下，也是可以求出它們的距離的，那就是用向量法求兩異面直線的距離.

運用數量積求異面直線間的距離按我的理解應有三個步驟:(1)將直線L2放在一個平面?琢內，(2)證明直線L1 // ?琢，(3)在直線L1上任取一點C，再在平面?琢內任取一點D，■為法向量，則點C到平面?琢的距離d=|■·■|就是異面直線L1與L2的距離.

★三大距離的統一理解:d=|■·■|(點面距)、d=|■·■|(異面距)、d=|■·■|(點線距之一)、d2=|■|2-|■|2且|■|=|■·■|(點線距之二).其本質特征是:一個向量在其所求的距離所在直線的一個向量上的投影，也即數量積此性質的直接應用.

由上述的剖析過程不難看出:空間中的“三大角”與“三大基本距離”的計算，都隱藏于這個“特定”的數量積的性質之中，體現在這個公式結構的“統一美”之中，把問題的本質揭示得“淋漓盡致”，而又不失自然!這給《立體幾何》中向量的工具性的體現，增添了幾分美感與統一感!