談二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

〔關(guān)鍵詞〕 二次函數(shù);圖象;系數(shù);關(guān)系

〔中圖分類號〕 G633.62〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463(2010)07(A)—0025—01

函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c是常數(shù))叫做二次函數(shù).二次函數(shù)是七年級—九年級數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，其解析式中的a，b，c對圖象的形狀和位置、一元二次方程的根及二次三項(xiàng)式值的情況起著重要作用.現(xiàn)歸納如下:

1. a決定拋物線的開口方向:a>0?圮開口向上;a<0?圮開口向下;|a|決定拋物線的開口大小，|a|的值越大，開口越小.

2. b與a共同決定著對稱軸的位置:a，b異號，對稱軸在y軸右側(cè);a，b同號，對稱軸在y軸左側(cè);b=0時(shí)，對稱軸為y軸.

3. (1)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置:c>0?圮交點(diǎn)在y軸正半軸;c<0 ?圮交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸;c=0?圮交點(diǎn)在原點(diǎn).

(2)(■，0)與(■，0)是拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根.

4. ?駐(?駐=b2-4ac)決定拋物線與x軸是否有交點(diǎn)及交點(diǎn)的個(gè)數(shù):?駐>0 ?圮與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);?駐=0 ?圮與x軸有一個(gè)交點(diǎn);?駐<0?圮與x軸沒有交點(diǎn).

5. -■，■是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，其中，x=-■是拋物線的對稱軸方程，y=■是拋物線的最值:a>0時(shí)，y有最小值;a<0時(shí)，y有最大值.

6. ■是拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離:d=|x1-x2|.

7. 當(dāng)a≠0，b=0，c=0時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為y軸;當(dāng)a≠0，b=0，c≠0時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在y軸上，對稱軸為y軸;當(dāng)a≠0，b≠0，c=0時(shí)，拋物線過原點(diǎn)，一元二次方程有一零根.

例1:如左圖所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象為圖中拋物線，則下面不等式中能成立的個(gè)數(shù)有( ).

①abc>0;②b

④2c<3b;⑤c>2b.

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

解:∵拋物線開口向下，∴a<0.

∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c>0.

∵拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，∴-■>0， ∴b>0， ∴abc<0， ∴ ①不成立.

∵當(dāng)x=-1時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值y=a(-1)2+b·(-1)+c=a-b+c.而由圖象可知，x=-1時(shí)，y<0，∴a-b+c<0，∴b>a+c，∴②不成立.

當(dāng)x=1時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值y=a·12+b·1+c=a+b+c.又由圖象可知，當(dāng)x=1時(shí)，y>0，∴a+b+c>0，∴③不成立.

∵由上得b>a+c，又∵-■=1，∴a=-■b，∴2c<3b，∴ ④成立.

∵2c<3b，b>0，∴c<■b<2b，∴c<2b，∴⑤不成立.

∴本題中不等式成立的只有④，故選A.

例2:求證:不論m取何值，二次函數(shù)y=x2-(m+4)x+2(m+1)的圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn).

證明:∵?駐=[-(m+4)]2-4×1×2(m+1)=m2+8>0，∴不論m取何值，此拋物線與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn).

例3:拋物線y=x2+nx+n-2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是 .

分析:可設(shè)兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，從而兩點(diǎn)間的距離d=|x1-x2|=■=■.

例4:已知拋物線y=x2+(k-4)x-k與x軸交于A，B兩點(diǎn)，關(guān)于y軸對稱，求拋物線的解析式.

解:拋物線y=x2+(k-4)x-k關(guān)于y軸對稱→x=-■=0 → b=0 → k-4=0 → k=4 → y=x2-4.

總之，a決定拋物線的開口方向，b，c確定拋物線的形狀與位置.正是由于a，b，c對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的形狀、位置的影響，蘊(yùn)含著方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)內(nèi)容及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，所以是近幾年中考的熱點(diǎn)，也對學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有非同尋常的意義.