高頻下分流器集膚效應及鄰近效應的有限元分析

【摘要】 本文建立了分流器的二維有限元模型，分析了分流器電阻以及電感隨頻率變化的關系。計算結果表明：在高頻條件下，集膚效應和鄰近效應是增大交流電阻和減小電感的主要原因。

【關鍵詞】 分流器集膚效應臨近效應

【文獻編碼】 doi:10.3969/j.issn.0450-9889(C).2010.12.058

分流器是電路中用來測量電流的一種常用器件。在高頻下，其交流電阻和電感對能否準確測量電流至關重要。因此，準確計算分流器的交流電阻以及電感就顯得非常有實際意義。

對分流器電阻與電感產生影響的因素包括溫度、集膚效應和鄰近效應等，其中集膚效應和鄰近效應是主要因素。為探討集膚效應和鄰近效應對電阻與電感的影響，本文建立一個二維有限元模型，很方便地得到了交流電阻和電感隨頻率的變化關系，避免采用Bessel函數直接計算法在高頻下得不到可靠結果的缺點。

一、模型假設

（一） 略端部效應的影響

由于分流器的長度比分流器的半徑大得多，為了簡化模型，同時減小有限元模型與計算量，暫且忽略端部效應的影響，從而可以把三維模型簡化為二維模型。同時考慮到分流器的對稱性，只需要建立分流器截面的1/6即可。

（二） 簡化為準靜態模型

在本文中，不考慮位移電流以及波動效應，認為該問題是一個準靜態過程。

（三） 不考慮熱效應

由于該模型是一個準靜態模型，而分流器是銅錳材料制成，具有很好的散熱能力，可認為導體溫度穩定在室溫，即293K。

二、 模型建立

描述集膚效應和臨近效應的電磁場方程如下式所示：

其中σ為銅錳導體電導率，ω為電流角頻率，Az為向量磁位，ΔV為導體兩端的電勢差，L為導體棒長度。本文中，用到的常數有ΔV=1KV，σ=1/（-1.3×10-9+9.6×10-11×293），為銅在293K下的電導率。

（一） 分流器結構：

分流器是由90根長為240 mm，直徑為6 mm的銅錳導體棒分兩排圓形排列而成，如圖1所示：

（二） 單根銅錳棒分析

集膚效應是由場量在導體內部的衰減形成的，而場量在導體內的衰減快慢又可用導體的透入深度δ表示，其一般表達式為δ=，流過導體截面的電流密度J隨著深度δ的增加按指數規律衰減：J=J0 e-d / δ，其中J0為導體表面的電流密度，d為從導體表面算起的深度。

由上面的表達式可以看出，集膚效應使得導體有效面積減小，從而使導體的等效電阻增加和電感減小。下面從單根導體出發，來分析這兩種效應對電阻和電感的影響。

單根導體時，忽略外圍空間場的影響，只存在集膚效應，而不存在臨近效應的。電阻、電感，電流密度以及電流隨頻率變化的曲線，如圖2所示。可以看出，電阻隨著頻率的增加而增加；電感是隨著頻率的增加而減小；電流密度隨著頻率的增加變得更不均勻，越往表面越大，越往里面越小；電流則隨著頻率的增大而變小；當頻率超過一定值（107 Hz）時，這時由于電流已經趨附在表面了，因而電阻和電感已經基本不再改變；這完全符合理論上的預測。

此時如果還按照0Hz下的電阻，來計算導體兩端的電流，勢必引起很大的誤差，因為在高頻下，電流比在低頻時減小了。如上圖所示，當頻率增加到107 Hz時，電流已經接近0了。也就是說導體的感應電動勢已經完全抵消了外加電動勢。

本文定義一個電流誤差函數：I %=（其中I（k）表示在頻率為kHz下的電流有效值）來度量集膚效應和鄰近效應的影響給分流器測量帶來的誤差，圖3給出電流誤差隨頻率變化的圖像，從圖中可以看出，在頻率比較低的時候，電流誤差還比較小，當頻率很高的時候，誤差越來越大，當頻率達到107 Hz時，電流誤差已經達到了3×106。

（三） 分流器分析

在分析分流器的整體結構時，由于多根導體的存在，這個時候，集膚效應和臨近效應都必須考慮在內。理論上分析的結果跟單根導體是完全一致的，即是電阻隨頻率的增加而增大；電感隨頻率的增加而減小。

電阻、電感、電流密度和電流隨頻率的變化規律依然和單根導體的變化曲線是一樣的，電阻隨頻率的增大而增大；電感隨著頻率增大而減小；電流密度是隨頻率的增加，越接近內外層導體的外側，電流密度越大，且外層電流密度比內層大。如圖4所示。

在分析多根導體時，由于同時存在集膚效應和臨近效應，電阻和電感隨頻率的變化與單根導體相比，略有差別。當頻率達到105 Hz時，電阻隨頻率增加更快，原因是這個時候鄰近效應的作用也比較明顯了，它和集膚效應的共同作用加劇了交流電阻的增加；同樣，電感則繼續減小，盡管這個時候集膚效應的影響很微弱了，但是鄰近效應的影響比較大；在單根導體中，電流在頻率到達107 Hz就已經接近為0了，但是在多根導體中，由于同時存在鄰近效應的影響，加劇了電流的減小，到了105 Hz就已經接近為0了。

沿用單根導體中定義電流誤差的函數，在多根導體中，電流誤差隨頻率的變化圖如圖5所示，從圖中可以看出，在頻率比較低的時候，電流誤差比較小，但是當頻率很高的時候，誤差就越來越大，當頻率達到105 Hz時，誤差已經接近108 了。

綜上所述，運用有限元法，對分流器的集膚效應以及鄰近效應作出了比較詳細的分析，在實際運用中具有指導意義，且得到的電阻和電感隨頻率的變化曲線可以作為圖表來用。

【作者簡介】 譚存鳳（1985- ），女，廣西電力職業技術學院助教。

（責編黎原）