兩種期權(quán)定價(jià)模型在金融衍生產(chǎn)品中應(yīng)用與比較

摘要：期權(quán)理論發(fā)展日新月異，期權(quán)的定價(jià)模型無(wú)疑是期權(quán)應(yīng)用研究的一個(gè)主要方面。本文對(duì)較為常見(jiàn)的兩種期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行闡述、解析、應(yīng)用和比較。

關(guān)鍵詞：期權(quán)定價(jià) 二叉樹(shù)模型 Black-Scholes模型

一、期權(quán)的定義及定價(jià)模型

期權(quán)是一種權(quán)利，它賦予持有者在特定的時(shí)間內(nèi)以某一確定的價(jià)格買(mǎi)入或賣(mài)出某種資產(chǎn)的權(quán)利。期權(quán)持有者享受權(quán)利但不必履行義務(wù)。因此，期權(quán)的持有者與期權(quán)的承約方的權(quán)利義務(wù)不對(duì)稱(chēng)。

最常用的期權(quán)定價(jià)模型是Cox、Ross、Rubinstein等學(xué)者提出的離散時(shí)間定價(jià)模型——二叉樹(shù)定價(jià)模型和Fisher Black、Myron Scholes和Robert Merton提出的連續(xù)時(shí)間定價(jià)模型。

1．二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型

二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)表的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格僅有兩種——上漲或下跌，投資者可利用貨幣市場(chǎng)與股票市場(chǎng)復(fù)制出收益變動(dòng)與期權(quán)完全相同的投資組合。

設(shè)：S0=股票即期價(jià)格，u=股票價(jià)格上升因子，d=股票價(jià)格下降因子，r=無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，C0=看漲期權(quán)即期價(jià)格，C（ST）=期權(quán)在T時(shí)刻的收益，則二叉樹(shù)定價(jià)模型為

(1)

以上公式為單時(shí)段模型，若為多時(shí)段此公式依然適用。如果不斷地增加模型的時(shí)段數(shù)，就可以使期權(quán)價(jià)值更接近于實(shí)際。從原理上看，與單時(shí)段模型一樣，從后向前逐級(jí)推進(jìn)。時(shí)段增加的同時(shí)也帶來(lái)了各時(shí)段的上升因子與下降因子如何確定的問(wèn)題。為了保證年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差不變，我們調(diào)整上升與下降因子分別為

其中 σ=股票價(jià)格波動(dòng)率 ，T=期權(quán)的期限

計(jì)算的步驟與單時(shí)段模型類(lèi)似。首先確定最后一期的期權(quán)價(jià)值，再根據(jù)最后一期的期權(quán)價(jià)值運(yùn)用單時(shí)段模型計(jì)算出前一期的期權(quán)價(jià)值，依次向前推，得出看漲期權(quán)的期權(quán)現(xiàn)值。由此得出二叉樹(shù)定價(jià)模型的一般化公式為：

（2）

其中

A是使得S0ukdn-k＞K的最小整數(shù)k。

2．Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型

N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)

C與P分別為歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的價(jià)格

S0=標(biāo)的資產(chǎn)即期價(jià)格

K=期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格

r=以連續(xù)復(fù)利的為風(fēng)險(xiǎn)利率

σ=股票價(jià)格的波動(dòng)率

T=期權(quán)的期限

2.1Black-Scholes模型的分析

Black-Scholes模型除了如何估計(jì)一個(gè)買(mǎi)權(quán)和或賣(mài)權(quán)的價(jià)值外，也透露了哪些因素會(huì)影響期權(quán)的價(jià)值。具體為

（1）標(biāo)的資產(chǎn)的即期價(jià)格S0：標(biāo)的資產(chǎn)即期價(jià)格的提高使得看漲期權(quán)的價(jià)值隨之提高；看跌期權(quán)恰好相反，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格越高，其價(jià)值越低。

（2）執(zhí)行價(jià)格K：執(zhí)行價(jià)格越高看漲期權(quán)的價(jià)值越低，看漲期權(quán)越易變?yōu)椤疤撝怠保吹跈?quán)恰好相反。

（3）期權(quán)期限T對(duì)于美式期權(quán)來(lái)說(shuō)，較長(zhǎng)的到期時(shí)間，能增加看漲期權(quán)的價(jià)值。到期日離現(xiàn)在越遠(yuǎn)，買(mǎi)方可以有更多的機(jī)會(huì)來(lái)“等待獲利”，因此T越大，期權(quán)的價(jià)值也就越高。對(duì)于歐式期權(quán)來(lái)說(shuō)。較長(zhǎng)的時(shí)間不一定能增加期權(quán)的價(jià)值，雖然較長(zhǎng)時(shí)間可以降低執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值，但并不增加執(zhí)行的機(jī)會(huì)。到期日價(jià)格的降低，有可能超過(guò)時(shí)間價(jià)值的差額，因此并不一定增加期權(quán)的價(jià)值。

（4）股票價(jià)格的波動(dòng)率σ：股票價(jià)格波動(dòng)率被定義為股票收益率（股票價(jià)格變動(dòng)比例）的標(biāo)準(zhǔn)差，它反映了股票價(jià)格的“發(fā)散”程度。對(duì)期權(quán)的持有者來(lái)說(shuō)，股價(jià)上升可以獲利，股價(jià)下降的最大損失為期權(quán)費(fèi)，兩者不能抵消。因此，股價(jià)的波動(dòng)率變大會(huì)使期權(quán)的持有者價(jià)值增加。

（5）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r：執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率呈反比，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率越高，未來(lái)購(gòu)買(mǎi)標(biāo)的資產(chǎn)的成本就越低，因此，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率越高，看漲期權(quán)的價(jià)格越高，看跌期權(quán)恰好相反。

二、期權(quán)定價(jià)模型的實(shí)例

例 考慮一歐式股票看漲期權(quán)，股票的當(dāng)前價(jià)格為40美元，執(zhí)行價(jià)格為40美元，股票價(jià)格波動(dòng)率為年率30%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率9%，期權(quán)期限為6個(gè)月。

S0=40K=40σ=0.3r=0.09T=0.5

1、由Black-Scholes公式求期權(quán)價(jià)格

采用 Excel中的NORMDIST函數(shù)，得

N（d1）=0.6248N（d2）=0.4578

由式（3）得看漲期權(quán)的價(jià)格為

C=40×0.6248-40e-0.09×0.5×0.4578

=7.4858

2、運(yùn)用二叉樹(shù)定價(jià)模型

將該模型分為6個(gè)時(shí)段，則每個(gè)時(shí)段長(zhǎng)度為一個(gè)月

當(dāng)S0ukdn-k＞K時(shí)

即S0u2k-6＞K

最小正整數(shù)k=4

由公式（2）得

=3.8535

可以看出根據(jù)Black-Scholes模型算出的理論價(jià)格為 美元，而根據(jù)二叉樹(shù)模型算出的理論價(jià)格為3.8535美元兩者差異很大。

下面將模型分為12時(shí)段依照6時(shí)段的方法可得看漲期權(quán)的理論價(jià)格為4.1820美元。與6時(shí)段相比，誤差較小。不斷地增加時(shí)段數(shù)，會(huì)使得誤差更小，在此不再贅述。二叉樹(shù)模型在推導(dǎo)期權(quán)理論價(jià)格時(shí)將存續(xù)期分為若干個(gè)小區(qū)間，并假設(shè)價(jià)格在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)變化一次，該模型并不是連續(xù)變化的。而B(niǎo)lack-Scholes模型可看成是二叉樹(shù)模型的延伸。當(dāng)把存續(xù)期分成的小區(qū)間長(zhǎng)度越來(lái)越短，乃至有無(wú)窮多個(gè)小區(qū)間。在到期日將會(huì)有無(wú)窮多個(gè)股價(jià)出現(xiàn)，此時(shí)由二叉樹(shù)模型確定的期權(quán)價(jià)格將收斂于于由Black-Scholes模型確定的期權(quán)價(jià)格。

三、總結(jié)

一切模型都建立在一定的假設(shè)條件之上，模型的有用性取決于這些條件的合理性及被計(jì)量的那個(gè)衍生金融工具所隱含的變量是都符合這些假設(shè)中前提條件。雖然期權(quán)定價(jià)模型有一定的局限性，但在評(píng)估期權(quán)價(jià)值時(shí)，運(yùn)用二叉樹(shù)模型與Black-Scholes模型仍是一種有效的方法。二叉樹(shù)模型比較直觀，此模型假設(shè)資產(chǎn)的價(jià)格在下一時(shí)間段只有兩種變化。單現(xiàn)實(shí)生活中企業(yè)進(jìn)行投資選擇時(shí)，可能出現(xiàn)的結(jié)果并不只有兩種，此時(shí)將不能應(yīng)用二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行期權(quán)定價(jià)。Black-Scholes模型則可以適用于股票和其他價(jià)格取決于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格的所有衍生證券的定價(jià)，因此Black-Scholes模型的應(yīng)用較為廣泛。

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（作者單位：南京財(cái)經(jīng)大學(xué)）