數(shù)學(xué)與物理相得益彰的兩個范例

摘要:物理學(xué)科與數(shù)學(xué)學(xué)科之間有著密切的聯(lián)系，這種聯(lián)系使得這兩門學(xué)科相互促進、相互發(fā)展、相得益彰。本文從兩個例題入手闡述了它們之間的這種關(guān)系。例一利用數(shù)學(xué)知識推導(dǎo)物理公式，反之，例二利用物理知識推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式。謹以此來表征它們之間的緊密聯(lián)系。

關(guān)鍵詞:極限法;位移;面積

中圖分類號:G633.7 文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1003-61

48(2010)9(S)-0061-2

數(shù)學(xué)是物理的語言，物理學(xué)的發(fā)展、完善和成熟時時刻刻都離不開數(shù)學(xué)學(xué)科的作用。反之，物理學(xué)的完備又使得數(shù)學(xué)的論證得到另一種證明。這兩門學(xué)科間相互促進、相互發(fā)展，成了密不可分的融合體。本文就從兩個例子入手來證明它們間的密切關(guān)系和相互的促進作用。

例1 用數(shù)學(xué)知識重新推導(dǎo)物理位移公式:x=v0t+12at2

在人教版高一物理教材中，位移公式的推導(dǎo)是利用v-t圖像，求解梯形面積得到的。但在學(xué)習(xí)過極限和數(shù)列后，我們還可以用新的方法去推導(dǎo)得出。

假設(shè) 一物體以初速度v0，加速度a沿一直線AB運動時間t，求解其運動的位移?

解 如圖1，將線段AB均分為n段，且n趨向于無窮大。

則:每一小等份時間t′=tn很小很小，所對應(yīng)的過程x1可視為速度v0的勻速直線運動。

x1=v0t′。

過程x2可視為速度(v0+at′)的勻速直線運動。

x2=(v0+at′)t′，

過程x3可視為速度[(v0+at′)+at′]的勻速直線運動。

x3=(v0+2at′)t′

以次類推:

xn=[v0+(n-1)at′]t′

則:sAB=x1+x2+x3+…+xn

=v′0t+(v0+at′)t′+(v0+2at′)t′+…+[v0+(n-1)at′]t′

=nv0t′+at′2[1+2+3+…+(n-1)]

又因為t′=tn，

[1+2+3+…+(n-1)]=[1+(n-1)]×(n-1)/2

sAB=v0t+[1+(n-1)]×(n-1)/2×a(t/n)2

=v0t+(n-1)/2n×at2。

運用極限思想:

Limn∞[v0t+(n-1)2nat2]=v0t+12at2

即:位移x=v0t+12at2。

例2 用物理知識重新推導(dǎo)數(shù)學(xué)圓面積公式

圓的面積公式首次出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，由于當(dāng)時所學(xué)知識的限制，只進行了簡單的說明。當(dāng)我們學(xué)習(xí)了高中物理中的勻速圓周運動之后，加上前文的極限思想就可以推導(dǎo)了。

假設(shè):一物體沿半徑為r的圓周以速度v運動，運動周期為T。求其運動半徑掃過的面積(即圓的面積)?

解 如圖2所示，將圓周n等份，且n趨向于無窮大。

則:每一等份運動時間為t=T/n。當(dāng)n→∞時，每一等份運動的弧長sAB約等于 弦長AB。

因此，扇形OAB的面積可視為三角形OAB的面積。

SΔOAB=1/2×AB×r

=1/2×(vt)×r

=1/2×vTr/n。

(AB段視為勻速直線運動)

又因為S圓=nSΔOAB

=n×1/2×vTr/n

=vTr/2。

根據(jù)勻速圓周運動知識:

v=2πr/T代入上式。

可得:S圓=πr2

通過上面的兩個例子我們可以窺見“數(shù)學(xué)”與“物理”這兩門學(xué)科間的緊密聯(lián)系，同時也彰顯了它們之間的相互作用。

(欄目編輯王柏廬)