遞推法在自主招生考試中的應用

摘要:本文以歷年大學自主招生試題為例，分析遞推法在自主招生考試中的應用。

關鍵詞:自主招生考試;遞推法;應用

中圖分類號:G633.7 文獻標識碼:A文章編號:1003-6148(2010)8(S)-0044-3

大學自主招生考試已試點多年，被稱為“小高考”，越來越受到學生、家長和老師的重視。縱觀近幾年知名高校自主招生物理試題，不難發現其難度介于高考和競賽之間。結合其考試特點和分析歷年試題可知，不少綜合題要應用遞推法，由于高中平時學習時應用遞推法解題較少，不少參加自主招生考試的考生不會應用遞推法解題。本文以歷年試題為例做淺要分析，以供參考。

遞推法 遞推法是解決物體與物體發生多次作用后的情況。當問題中涉及相互聯系的物體較多并且有規律時，應根據題目特點應用數學思想將所研究的問題歸類，然后求出通式。具體方法是先分析某一、兩次作用的情況，得出結論。再根據多次作用的重復性和它們的共同點，把結論推廣，然后結合數學知識求解。

例1 (2007南京大學)如圖1所示，一輕繩吊著粗細均勻的棒，棒下端離地面高H，上端套著一個細環。棒和環的質量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力kmg(k>1)。斷開輕繩，棒和環自由下落。假設棒足夠長，與地面發生碰撞時，觸地時間極短，無動能損失。棒在整個運動過程中始終保持豎直，空氣阻力不計。求:

(1)從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運動的路程s;

(2)從斷開輕繩到棒和環都靜止，摩擦力對環及棒做的總功W。

解析 (1)s=k+3k+1H(詳解略)

(2)棒第一次落地時棒環速度:v1=2gH

設棒第一次彈起后歷時t1與環達到的共同速度為v′1，

對環:kmg-mg=ma環

v′1=-v1+a環t1

h環1=-v1t1+12a環t12

對棒:-kmg-mg=ma棒

v′1=v1+a棒t1

h棒1=v1t1+12a棒t12

環第一次相對棒的位移:

s1=h環1-h棒1=-2kH

棒第二次落地時棒環速度:

v22-v′21=2gh棒1

解得:v2=2gHk

依次類推，環第二次相對棒的位移:

s2=h環2-h棒2=-2k(Hk)=-2Hk2

環第n次相對棒的位移:

sn=-2Hkn

環相對棒的總位移:

s=s1+s2+…+sn=-2Hk-1

摩擦力對棒及環做的總功:

W=kmgs=-2kmgHk-1

例2 (2008東南大學)如圖2所示，豎直平面內有一光滑圓弧形軌道，O為最低點，A、B兩點距O點的高度分別為h和4h，現從A點釋放一質量為M的大物體，且每隔適當的時間從B點釋放一質量為m的小物體。它們和大物體碰撞后都合為一體，已知M=100m。

(1)若每當大物體向右運動到O點時，都有一個小物體與之碰，問碰撞多少次后大物體的速度最小?

(2)若大物體第一次向右運動到O點時，和小物體碰撞，以后每當大物體向左運動到O點時，才與一個小物體碰撞，問共碰撞多少次后物體能越過A點?

(3)若每當大物體運動到O點時，都有一個小物體與之碰撞，問撞50次后，大物體運動的最大高度為h的幾分之幾?

解析 (1)50次;(2)4次(詳解略)。

(3)大、小物體運動到O點速度大小分別為:vA=2gh，vB=22gh

第1次碰撞:MvA-mvB=(M+m)v1

得:v1=MvA-mvBM+m

第2次碰撞:(M+m)v1+mvB=(M+2m)v2，得:v2=MvAM+2m

第3次碰撞:(M+2m)v2-mvB=(M+3m)v3，得:v3=MvA-mvBM+3m

第4次碰撞:(M+3m)v3+mvB=(M+4m)v4，得:v4=Mv4M+4m

依次類推，可知，當n取奇數時:

vn=MvA-mvBM+nm

當n取偶數時:

vn=MvAM+nm

故50次碰撞后的速度:

v50=MvAM+50m=23vA

最大高度:h′=49h

例3 (2010年清華、上海交大等五校聯考)一質點從高處自由下落距離h后，落到傾角為45°的很長的光滑斜面上，并與斜面發生多次彈性碰撞。如圖3所示選取直角坐標，重力加速度為g。求:(1)經過n次(n=1，2，3，…)碰撞后剛彈起時速度的x分量和y分量;(2)任意兩次碰撞之間的時間間隔。

解析 如圖4所示，由于斜面傾角為45°，且碰撞前后能量和動量守恒，可得每次碰撞均使速度的兩個分量互換。

自由下落的末速度:v0=2gh

用時:t0=v0g=2hg

第1次碰前x方向分速度:vx1=0

y方向分速度:vy1=v0

第1次碰后x方向分速度:v′x1=v0

y方向分速度:v′y1=0

設第1次碰后到第2次碰前用時t12，則有:

v0t12=12gt122

得:t12=2v0g=2t0

第2次碰前x方向分速度:vx2=v0

y方向分速度:vy2=gt12=2v0

第2次碰后x方向分速度:v′x2=2v0，

y方向分速度:v′y2=v0。

設第2次碰后到第3次碰前用時t23，則有:2v0t23=v0t23+12gt232

得:t23=2v0g=2t0

第3次碰前x方向分速度:vx3=2v0

y方向分速度:vy3=v0+gt23=3v0

第3次碰后x方向分速度:v′x3=3v0

y方向分速度:v′y3=2v0

依次類推得，第n-1次碰后到第n次碰前用時:t(n-1)n=2v0g=2t0

第n次碰后x方向分速度:v′xn=nv0

y方向分速度:v′yn=(n-1)v0

綜上所述，(1)經過n次碰撞后剛彈起時速度的x分量為v′xn=n2gh，y分量v′yn=(n-

1)2gh;(2)任意兩次碰撞之間的時間間隔都相等為T=22hg。

無獨有偶，2006年復旦大學自主招生外省卷也考了一道類似的題，題為:在電場強度為E的足夠大的勻強電場中，有一條與電場線平行的幾何線，如圖5中虛線所示，幾何線上有兩個靜止的小球A和B，質量均為m，A球帶電荷量+Q，B球不帶電。開始時兩球相距L，在電場力的作用下，A球開始沿直線運動，并與B球發生正對碰撞，碰撞中A、B兩球的總動能無損失，設在每次碰撞過程中，A、B兩球間無電荷量轉移，且不考慮重力及兩球間的萬有引力，問:

(1)A球經過了多長時間與B球發生第一次碰撞?

(2)第一次碰撞后，A、B兩球的速度應各為多大?

(3)試問:在以后A、B兩球不斷地再次碰撞的時間間隔會相等嗎?如果相等，請計算該時間間隔;如果不相等，請說明理由。

參考答案:(1)t1=2mLQE

(2)vA1=0，vB1=v0=2QELm

(3)每次碰撞時間間隔相等為T=22LmQE

小結 從以上列舉的幾道例題分析可知，遞推法解題的關鍵在于通過逐步分析前幾個過程，找出一般的遞推關系式，從而解決物理問題。

(欄目編輯陳 潔)