運用“s-x”圖像,巧解運動學難題

摘要:本文著力探討運用“s-x”圖像，直觀、形象的解決運動學中的某些難題。

關鍵詞:“s-x”圖像;速度;相遇;時間

中圖分類號:G633.7 文獻標識碼:A文章編號:1003-6148(2010)9(S)-0019-2

在中學階段，運動學問題中物理圖像的應用最廣泛的當為v-t圖像。但有些問題，運用v-t圖像或初等數學的方法很難求解或很不直觀，這時如果運用“s-x”圖像，如“s-t”、“1/v -s”、“a-s”等圖像，卻能起到意想不到的效果。

1 “s-t”圖像求速度及相遇問題

1.1 “s-t”圖像求速度問題

例1 在一條筆直的公路上依次設置三盞交通信號燈L1、L2和L3，L2與L1相距80m，L3與L1相距120m。每盞信號燈顯示綠色的時間間隔都是20s，顯示紅色的時間間隔都是40s。L1與L3同時顯示綠色，L2則在L1顯示紅色經歷了10s時開始顯示綠色。規(guī)定車輛通過三盞信號燈經歷的時間不得超過150s。若有一輛勻速向前行駛的汽車通過L1的時刻正好是L1剛開始顯示綠色的時刻，則此汽車能不停頓地通過三盞信號燈的最大速率______m/s。若一輛勻速向前行駛的自行車通過L1的時刻是L1顯示綠色經歷了10s的時刻，則此自行車能不停頓地通過三盞信號燈的最小速率是_________m/s。

方法一:(晦澀難懂)

(1)分析汽車的情況

若汽車通過第一個信號燈后，經30s到達L2處，此時汽車能以最快速度通過L2，按此速度，到達L3時L3顯示紅燈，不能順利通過;若汽車經60s到達L3，L3此時正由紅燈轉為綠燈，考查汽車經過L2時燈L2所處的狀態(tài)，汽車到達L2時經過40s，由題意，L2處于綠燈顯示狀態(tài)(已顯示綠燈10s)，則這種情況汽車能不停頓地通過三盞信號燈，且速率最大，最大速率為

v=120/60m/s=2m/s。

(2)分析自行車的情況

題目要求自行車不停頓地通過三盞信號燈的最小速率，則等價于求自行車通過三盞信號燈的時間最長。若自行車通過三盞燈的時間為150s(題目規(guī)定最長時間)，則自行車經過第二盞燈共用時100s，對應時刻為110s，由題意推理得此時恰為L2第二次顯示綠燈末，能通過第二盞燈，但通過L3時L3第三次顯示紅燈已經過20s，自行車不能不停頓地通過三盞燈;若自行車通過時間為130s，即此時恰好為L3第三次顯示綠燈結束，考查自行車通過L2時L2顯示情況。自行車通過L2共用時86.67s，對應時刻為96.67s，此時L2處于第二次顯示綠燈的狀態(tài)(已顯示綠燈6.67s)， 則這種情況自行車能不停頓地通過三盞信號燈，且速率最小，最小速率為

v=120/130m/s=12/13m/s。

方法二:(清晰簡單)

我們知道在s-t圖像中，斜率表示速率，斜率越大，速率越大。根據題意畫出如圖1所示的s-t圖像，其中各粗線段分別表示三盞信號燈綠燈時間。題目要求汽車不停頓的以最大速率通過三盞綠燈狀態(tài)下的信號燈應為直線①，自行車不停頓的以最小速率通過三盞綠燈狀態(tài)下的信號燈應為直線②。則有:

v汽車=v1=120-060-0=2m/s，

v自行車=v2=120-0140-10=1213m/s。

1.2 “s-t”圖像求相遇問題

例2 某人以30m/s的初速度每隔1s豎直向上拋出一球(空氣阻力忽略不計)，設各球在空中相遇但不相碰。問:對任一顆子彈，在空中有多少顆子彈從它旁邊擦過。

方法一:(運動過程不直觀)

每個小球在空中的運動均為勻變速直線運動，所以完全可以采用勻變速運動公式求解

tmax=2v0g，代入數據，可得tmax=6s。

v0t-12gt2=v0(t-n#8226;Δt)-12g(t-n#8226;Δt)2 (n≠0且取整數)。

整理得t=3+n/2，所以0

即n可取10個數值，即任一顆子彈在空中有10顆子彈從旁邊擦過。

方法二:(過程直觀明了)

根據豎直上拋公式s=v0t-12gt2，可知位移s是時間t的二次函數，其圖像是拋物線，根據題意，可作出如圖s-t圖像。在s-t圖像中，可以很清楚看出，第一條圖線(代表第1顆子彈)在其下落過程中與其它5條圖線相交，即它在下落過程中有5顆子彈從它旁邊擦過;第二條圖線(代表第2顆子彈)在上升過程與一條圖線相交，在下降過程與5條圖線相交，即它在上升過程有1顆子彈從旁邊擦過，下降過程有5顆子彈從它旁邊擦過，總計6顆;同理可推知，第3顆、第4顆、第5顆、第6顆、第7顆子彈……分別有7顆、8顆、9顆、10顆子彈……從它旁邊擦過。

2 “1/v-s”圖像求時間問題

例3 一只蝸牛從地面開始沿豎直電桿上爬，它上爬的速度v與它離地面的高度s之間滿足的關系是v=lv0/(l+s)，其中l(wèi)=20cm，v0=2cm/s。求它上爬20cm所用時間。

由v=lv0/(l+s)可知，蝸牛上爬過程既不是勻速運動，也不是勻變速直線運動，所以無法直接用運動學公式或v-t圖像求解。

對本題，可采用“1/v-s“圖像解決。

因蝸牛運動的時間是由每一小段時間Δt=Δsv=1v#8226;Δs累加而成，即t=∑1v#8226;Δs，故可作出1v-s圖像，則圖像與1v軸和s軸所圍面積即為所要求時間。

因為v=lv0l+s，所以1v=1v0l#8226;s+1v0。

其1v-s圖像如圖3所示，陰影部分即為所求時間，所以t=12(1v0+1vt)#8226;s

=12(1v0+1v0l#8226;s+1v0)#8226;s。

代入數據，得t=15s。

本題抓住“1v-s圖像與坐標軸包圍的面積是時間”這一特點，不僅思路清晰，有效避免微元法繁瑣的計算，同時也沒有超出中學物理教學大綱關于圖像遷移能力的要求，解答過程盡顯巧妙、獨特。

3 “a-s”圖像求速度問題

例4 已知一質點做變加速直線運動，初速度為v0，其加速度隨位移線性減小的關系即加速過程中加速度與位移之間的關系滿足條件a=a0-ks，式中a為任一位置的加速度，s為位移，a0、k為常量，求當位移為s0時質點的瞬時速度。

分析同上“1v-s”圖像，略。

根據a=a0-ks可作出“a-s”圖像，如圖4所示。

因為vi2-vj2=2aΔs，

所以vt2-v02=2as。

又因為as=12(a0-ks0+a0)#8226;s0，

所以vt=v02+2as0-ks02。

參考文獻:

[1]范小輝.新編奧賽實用題典.南京師范大學出版社，2005

(欄目編輯黃懋恩)