2010年高考物理壓軸題形象性解法

2010年高考理綜全國卷Ι物理部分最后一題，是一道推陳出新、獨具選拔功能的創新題，既體現循序漸進的命題思想，又涉及高中物理的主干知識，更呈現出對考生運用數學知識解決物理問題能力的考查，是迎合新課改思想和錘煉物理思維的好題。

在命題組所附參考解答中，多次提到“對稱性”，然而正是由于這些“對稱性”讓考生難于理解，因為在考生心目中，“對稱性”是指數學圖形或軌跡的軸對稱或中心對稱，筆者經分析，感覺參考解答缺乏“形象性”。下面給出一種符合中學生物理思維的形象性解法。

題 如圖1所示，在區域0≤x≤3a內存在與xy平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為B。在t=0時刻，一位于坐標原點的粒子源在xy平面內發射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0～180°范圍內。已知沿y軸正方向發射的粒子在t=t0時刻剛好從磁場邊界上P(3a，a)點離開磁場。求:

(1) 粒子在磁場中做圓周運動的半徑R及粒子的荷質比q/m;

(2) 此時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍;

(3) 從粒子發射到全部粒子離開磁場所用的時間。

析與解 (1)粒子從O點沿y軸正方向進入磁場，其運動軌跡如圖2中的弧OP⌒所示，因初速度vP沿圓弧切線方向，所以圓的直徑必定在x軸上，令C點為圓心。

因tan∠POC=a3a，

故∠POC=30°。

由此可推知弧所對的圓心角為120°，進而可知該粒子在磁場中從O點沿弧OP⌒到達P點所用時間

t0=T3，

即:T=3t0。①

式中T為粒子做圓周運動的周期。

若R表示粒子的運動半徑，則解以PC為斜邊的直角三角形(∠PCx=60°)有:

sin60°=aR，

解得:R=233a。②

(說明:也可以通過勾股定理列式R2=a2+(3a-R)2來求解)

設粒子運動的速度大小為v，因洛侖茲力提供向心力，故有:

qvB=mv2R，③

又因T=2πRv，④

聯立①、②、③、④式得:

qm=2π3Bt0。

(2) 當粒子的初速度方向與y軸正方向有一定的夾角時(比如圖3中的vQ)，由于圓的切線與過該點的圓的直徑總保持垂直，所以粒子做圓周運動所在圓的直徑必定在x軸的下方(如圖3中的直線OC′)。易推知，所有運動軌跡的圓心一定在“以O點為圓心，以R為半徑”且分布在第三、第四象限的圓弧上(圖3中的虛線圓弧)。若粒子的初速度方向與y軸正方向的夾角從零逐漸增大，則軌跡圓的圓心就會從x軸上的C點沿虛線圓弧先向下移動。這樣一來，軌跡圓與磁場右邊界的交點(粒子從該點離開磁場)就從P點沿虛線直線(右邊界)向下移動。

在右邊界上取一點M，使得M點與P點關于x軸對稱，則弦長OM等于弦長OP。從PM之間的任意一點離開磁場的粒子，因其相應的弦長小于OP(從Q點射出，相應弦長指OQ，如圖3)，所以，這些粒子要比沿y軸正方向發射的那個粒子(即走弧OP⌒軌跡的粒子)先到達磁場右邊界。

先考察從O點沿圓弧OM⌒達到M點的粒子是否從右邊界離開磁場。

如圖4所示，∠OO′M=∠OCP=120°(等弦對等角)

∠MOO′ =∠POC=30°

(ΔMOO′≌△POC)，

∠HOM=∠HOP=30°(等腰三角形底邊上的高與頂角平分線重合)。

由此可得:∠HOM+∠MOO′+∠OO′M=180°。

故有:OH∥O′M。

(同旁內角互補，兩直線平行)

可推知O′M⊥PM，又因圓的半徑O′M與過M點的切線垂直，從而易知:粒子從O點沿圓弧OM⌒恰好到達M點時與磁場右邊界相切，方向沿邊界向下，說明該粒子不會從磁場右邊界射出，而是從左邊界離開磁場。

再考察走圓弧OM⌒(注意:M點不是粒子離開磁場的位置)這一粒子的初速度方向:因圓弧OP⌒對應的弦OP與圓弧OM⌒對應的弦OM相差60°角(∠POM=60°)，故過O點的切線方向也相差60°角(∠yOP=60°)，由此可判斷“走圓弧OM⌒的粒子，其初速度方向沿OP方向”。

當初速度方向與y軸正方向的夾角大于60°而小于90°時，粒子運動軌跡與磁場右邊界相離，并且粒子經歷一段優弧后從磁場左邊界離開(如圖5)， 圓心位置越高，優弧所對的圓心角越大。當初速度方向與y軸正方向的夾角等于90°時，軌跡圓的圓心恰好在y軸上，粒子經歷半圓從磁場左邊界離開。當初速度方向與y軸正方向的夾角大于90°而小于180°時，軌跡圓的圓心落在第三象限上，粒子經歷一段劣弧后從磁場左邊界離開，且規律為:初速度方向與y軸正方向的夾角增大時，軌跡圓的圓心沿虛線圓弧向左上方移動，軌跡劣弧所對的圓心角逐漸減小。現考察劣弧所對的圓心角恰好減小到120°時，粒子初速度方向與y軸正方向的夾角角度。

如圖6所示，圓心在第三象限，且圓心角等于120°時，其相應的弦長OD等于OP(等角對等弦)。已推知“初速度方向沿OP時，劣弧對應的弦為OM，且∠POM=60°”，易知∠MOD=60°，所以，當初速度方向沿OM時，相應的弦為OD。

依題意:粒子從O點沿圓弧運動到P點所經歷的時間為t0，也就是說“粒子在磁場中運動的軌跡圓弧所對的圓心角等于120°，該粒子歷時t0”。若粒子在磁場中運動的軌跡圓弧所對的圓心角大于120°，則這些粒子在磁場中運動的時間比t0要長。很顯然，在t=t0時刻，仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍為:60°≤θ≤120°。

(3) 所有粒子在t=0時刻都從O點發射進入磁場，所以，“從粒子發射到全部粒子離開磁場所用的時間”等于“最后離開磁場的那個粒子在磁場中所經歷的時間”。在磁場中歷時最長的那個粒子的運動軌跡是優弧OMN⌒(圓心位置越高，優弧越長)。

因為∠O′ON=90°-∠HOO′=30°

所以∠O′NO=∠O′ON=30°(等邊對等角)

因而有∠OO′N=120°(三角形內角和等于180°)

由此得優弧OMN⌒所對的圓心角為240°，已知粒子從O點沿弧OP⌒到達P點的過程中(相應圓心角為120°)歷時t0，故從粒子發射到全部粒子離開磁場所用的時間:tm=2t0

(欄目編輯陳 潔)