一類遞推數列收斂性的證明

摘 要: 本文證明了滿足某些條件的一類遞推數列的收斂性質。

關鍵詞: 遞推數列 收斂 第二數學歸納法

引理:設常數a>0，b>0。數列{a}滿足條件:a=a，a=b，且a=2++，n=1，2，…，則數列{a}收斂。

下面就對該引理進行一點推廣，推廣后的命題為:

定理:設常數a，b滿足ab≠0，a，b∈R，數列{a}滿足條件:a=a，a=b，且a=k++，n=1，2，…，其中k，α，β∈R為常數，且k>0，α≥0，β≥0，<，<，則數列{a}收斂。

證明:a=k++，n=1，2，…，且k>0，α≥0，β≥0。故有a≥k，n=3，4，…。于是k≤a=k++≤k++=k+，n=3，4，…，即數列{a}有界。

令r=max{，}，于是由定理條件可得0≤r<。

再令r=4r，則0≤r<1。

∵rx=0，∴?堝ε>0，使得0≤rε<1-r，∴0≤r+rε<1。

∵=1，∴對于ε>0，?堝0

∴0≤r()≤r(1+ε)=r+rε<1。

取p>0∈R，使得p>，p>，p>。

下面用第二數學歸納法證明:

|a-a|

假定當n≤m時結論成立，當n=m+1時，

a=k++，a=k++，

|a-a|=+

=+

≤+

又因為0

故有:

|a-a|≤+

=+≤2r(|a-a+|a-a|)。

由歸納假設可得:|a-a|

|a-a|

∵0≤4r()=r()<1，

∴|a-a|

∴當n=m+1時，結論成立。

即|a-a|0，p∈R，0

∵{a}是有界的，∴{a}必有一收斂子列。假定{a}不收斂，則必然存在{a}的兩個子序列{a}(s∈N)和{a}(s∈N)，使得a=ξ，a=ξ，ξ，ξ∈R且ξ≠ξ。

∵當s充分大時，有|a-a|0，p∈R，0

∴ξ-kξ=α+β，同理可得:ξ-kξ=α+β。

令f(x)=x-kx，

∴f′(x)=3x(x-)，當x≥k>0時，有f′(x)=3x(x-)≥3k(k-)=k>0。

∴f(x)在[k，+∞)上嚴格單調遞增，于是?坌x，x∈[k，+∞)，如果f(x)=f(x)，則有x=x。∵當k充分大時，有a≥k，a≥k，且a=ξ，a=ξ，

∴ξ，ξ∈[k，+∞)。

∵f(ξ)=ξ-kξ=α+β，f(ξ)=ξ-kξ=α+β，

∴f(ξ)=f(ξ)，

∴ξ=ξ，這與ξ≠ξ矛盾，

∴假定{a}不收斂是錯誤的。即{a}收斂。

當令k=2>0，α=β=1≥0時，有:

====<。

于是可得{a}收斂，這也就是引理中的結論。

參考文獻:

[1]陳傳璋，金福臨，朱學炎.歐陽光中#8226;數學分析(第二版上冊).北京:高等教育出版社，1983.7:95-194.

[2]華東師范大學數學系#8226;數學分析(第二版上冊).北京:高等教育出版社，1990.2:188-219.