三角函數(shù)問(wèn)題錯(cuò)解例析

〔關(guān)鍵詞〕 三角函數(shù);錯(cuò)解;銳角;鈍角

〔中圖分類號(hào)〕 G633.64〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463(2010)

08(A)—0054—01

例1:在△ABC中，已知sinA=■，cosB=■，求cosC的值.

這道題目是三角函數(shù)中的常見題型，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)此問(wèn)題的錯(cuò)解率特別高.學(xué)生常見的解答過(guò)程如下:

在△ABC中，∵cosB=■，∴B為銳角，且sinB=■.又∵sinA=■，∴A可能為銳角也可能為鈍角.

(1)當(dāng)A為銳角時(shí)，cosA=■，∴cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-■·■+■·■=■.

(2)當(dāng)A為鈍角時(shí)，cosA=-■，∴cosC=cos[π-(A+B)] =-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-(-■)·■+■·■=■.

故所求cosC的值為■或■.

他們似乎考慮得很全面，在已知三角形一個(gè)內(nèi)角A的正弦值sinA(其中sinA<1)，求cosA時(shí)，應(yīng)該分為A為銳角和鈍角兩種情況進(jìn)行討論.但他們卻忽視了三角形三個(gè)內(nèi)角之間的內(nèi)在聯(lián)系，忽視了三個(gè)角的三角函數(shù)值之間的數(shù)量關(guān)系.

不難分析，上例中A不可能為鈍角，只能是銳角，故正確結(jié)果應(yīng)是cosC=■.

其實(shí)，對(duì)于三角函數(shù)中類似的問(wèn)題，我們有如下結(jié)論:

結(jié)論1:在△ABC中，若sinA

結(jié)論2:在△ABC中，若sinA

結(jié)論3:在△ABC中，若sinA=sinB，則A、B均為銳角，且A=B.

進(jìn)一步地，綜合上述幾個(gè)結(jié)論，我們有如下定理:在△ABC中，sinA≤sinB成立的充要條件是A≤B.即在△ABC中，sinA≤sinB?圳A≤B.

下面對(duì)以上幾個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明.

結(jié)論1的證明:(用反證法)假設(shè)A不是銳角，由于A是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，則A為直角或鈍角，且B只能是銳角.即■≤A<π，∴0<π-A≤■，0

由sin A=sin(π-A)和題設(shè)sin Aπ，這與A+B<π矛盾.故A必為銳角.

結(jié)論2的證明:只需證明B為銳角和B為鈍角的三角形存在即可.根據(jù)結(jié)論1，知A為銳角.A=arcsin(sinA)

(1)若B=arcsin(sinB)，則B為銳角.顯然，以銳角A和銳角B為內(nèi)角的△ABC是存在的.

(2)若B=π-arcsin(sinB)，則B為鈍角，且A+B=arcsin(sinA)+[π-arcsin(sinB)]=π-[arcsin(sin B)-arcsin(sin A)]<π.

因此，以銳角A和鈍角B為內(nèi)角的△ABC也是存在的.故在題設(shè)條件下，B可能為銳角，也可能為鈍角.結(jié)論2也可以由作圖直接驗(yàn)證而得.

以上結(jié)論均可以用正弦定理來(lái)證明.

證明:在△ABC中，由正弦定理■=■=■=2R(其中R是△ABC外接圓的直徑)知，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.所以，在△ABC中，A≤B?圳a≤b?圳2Rsin A≤2RsinB?圳sinA≤sinB，即sinA≤sinB?圳A≤B.

最后，我們?cè)僮鲆粋€(gè)類似題型的練習(xí).

例2:在△ABC中，已知sinA=■，sinB=■，則cosA+cosB的值是().

(A)■ (B)■或■

(C)■或-■ (D)■或■或-■

解:∵A必為銳角，且cosA=■，則B可能為銳角，也可能為鈍角.

(1)當(dāng)B為銳角時(shí)，cosB=■，∴cosA+cosB=■+■=■;

(2)當(dāng)B為鈍角時(shí)，cosB=-■，∴cosA+cosB=■-■=■.故應(yīng)選 (B).