用均值不等式求最值典型錯誤剖析

〔關鍵詞〕 均值不等式;最值;錯誤;剖析

〔中圖分類號〕 G633.62〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463(2010)08(A)—0046—01

用均值不等式求最值是高中數學的一個重點，但由于學生對用這兩個基本不等式求最值的條件認識不清或運用不慎，常出現這樣或那樣的錯誤.下面本人就常見的一些典型錯誤及原因進行舉例剖析.

忽視各項應均為正數的條件致誤

例1:求函數y=cosx-■+■的最值.

錯解:設cosx-■=t，則:y = t+■≥2■. ∴ymin=2■.

剖析:這里沒有考慮t，■是否為正，就冒然使用均值不等式.事實上，t= cosx-■<0，故而是錯解.

正解:設cosx-■=-t，顯然t>0，則y=-(t+■)≤-2■. ∴ymax=-2■.

忽視積(或和)為定值的條件致誤

例2:求函數y=2x(5-3x)，x∈(0，■)的最大值.

錯解:∵x∈(0，■)，則x>0，5-3x>0.∴y=2x·(5-3x)=2■■≤2■■=■.

∴當x=■時，ymax=■.

剖析:上述解法中，x+(5-3x)不是定值(常量)，是個變量，不符合均值不等式的條件，故而是錯解.

正解:y=2x·(5-3x)=■■■≤■■■=■.

∴當3x=5-3x，即x=■時，ymax=■.

當然，此題也可用二次函數的有關方法來解.

忽視積式(或和式)中各項相等的條件致誤

例3:求函數y=2x(x-1)(8-3x)，x∈(1，■)的最大值.

錯解:∵x∈(1，■)，則有2x>0，x-1>0，8-3x>0.

∴ y = 2x(x-1)(8-3x) = ■■≤■■=■.即ymax=■.

剖析:上述解法中“≤”號中的等號若成立，則應有:2x=x-1=2-3x，顯然這是不可能的.

正解:

y=8■)■≤8■■

=8.

∴當x=2時，ymax=8.

忽視自變量取值的同一性致誤

例4:求函數y=(sin2x+■)+(cos2x+■)的最小值.

錯解:∵sin2x>0，且有sin2x·■=1，

∴ sin2x+■≥2 .①

同理，cos2x+■≥2 . ②

∴y=(sin2x+■)+( cos2x+■)≥4.③

∴ymin=4.

剖析:上述①式取等號的條件是sin2x=■，②式取等號的條件是cos2x=■，但③式取等號的條件是對同一個x，①式與②式同時取等號，這里顯然是不可能的.

正解:y=(sin2x+■)+( cos2x+■)=1+■.

∴當x=■kπ+■π(k∈Z)時，ymin=5.

總之，用均值不等式求最值，一定要緊扣“一正、二定、三相等”.即各項都為正，和(或積)為定值，存在“=”號成立的條件.另外，還應注意自變量取值的同一性，只有這樣才能得到正確結果.