雙曲線上任意一點與兩焦點所成三角形面積問題的討論

〔關鍵詞〕 雙曲線;任意一點;焦點;三角形面積

〔中圖分類號〕 G633.63 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463(2010)08(A)—0061—01

題目:已知點M是雙曲線■-y2=1上的一點，F1，F2為兩焦點，若∠F1MF2=90°，求△F1MF2的面積.

分析:由雙曲線■-y2=1，知a=2，b=1，c=■.設|MF1|=t1，|MF2|=t2，由橢圓的定義得|MF1|-|MF2|=4，即|t1-t2|=4，(t1-t2)2=42，t12+t22-2t1t2=16.

又因為△F1MF2是直角三角形，所以t12+t22=(2c)2=20.

故而得t1t2=2，即S△F1MF2=■t1t2=1.

下面把直角三角形F1MF2推廣為任意三角形，有以下定理及推論.

定理:已知M是雙曲線■-■=1(a>0，b>0)上的任意一點，F1，F2是兩焦點，若∠F1MF2=?琢，則△F1MF2的面積為b2cot■.

證明:設|MF1|=t1，|MF2|=t2，|F1F2|=2c，由雙曲線的定義得，|t1-t2|=2a，(t1-t2)2=(2a)2，t12+t22-2t1t2=4a2.

在△F1MF2中，由余弦定理得t12+t22-2t1t2cos?琢=(2c)2.

故而得t1t2=■=■.

所以S△F1MF2=■t1t2sin?琢=■·■sin?琢=b2cot■.

推論1:設M為雙曲線■-■=1(a>0，b>0)上一點，F1，F2是兩個焦點，若|MF1|∶|MF2|=m∶n，(m> n> 0)，則△F1MF2的面積為b2■

證明:由雙曲線的定義得，|MF1|-|MF2|=2a.因為

|MF1|∶|MF2|=m∶n(m>n>0)，所以，|MF1|=■，|MF2|=■.由余弦定理得

cos∠F1MF2 =■

=■

=■.

由cos∠F1MF2=2cos2■-1，

1+tan2■=■，

得tan■=■

=■.

∴S△F1MF2=b2tan■=b2■.

推論2:已知點M是雙曲線■-■=1(a>0，b>0)上的任意一點，F1，F2是兩焦點，則|MF1|·|MF2|的最小值為b2.

證明:設∠F1MF2=?琢，由定理得△F1MF2的面積為b2cot■.則|MF1|·|MF2|=■=■=■.即當sin2■取最大值1時，|MF1|·|MF2|的最小值為b2.

例:已知雙曲線■-■=1(a>0，b>0)的兩個焦點為F1，F2，點A在雙曲線第一象限的圖象上，若△AF1F2的面積為1，且tan∠AF1F2=■，tan∠AF2F1=-2，則b2的值為多少?

解:由推論2得△AF1F2的面積為b2cot■=1.而tan∠F1AF2=tan[π-(∠AF1F2+AF2F1)]

=-tan(∠AF1F2+AF2F1) =-■

=■=-■.又tan∠F1AF2 = ■，

∴ tan■=-3(舍)或tan■=■，∴cot■ = 3，∴b2 = ■=■.